2026版创新设计高考总复习数学（人教B版）-第1节　平面向量的概念及线性运算.docxVIP

课标要求1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.

5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

【知识梳理】

1.向量的有关概念

(1)向量:既有又有的量称为向量,向量的大小称为向量的(或长度).

(2)零向量:始点和终点相同的向量.

(3)单位向量:模等于的向量.

(4)平行向量(共线向量):如果两个非零向量的方向,则称这两个向量平行.通常规定零向量与任意向量.

(5)相等向量:大小、方向的向量.

(6)相反向量:方向、大小相等的向量.

2.向量的线性运算

向量运算

定义

法则(或几何意义)

运算律

加法

求两个向量和的运算

三角形法则

平行四边形法则

(1)交换律:

a+b=

(2)结合律:

(a+b)+c=

减法

求两个向量差的运算

三角形法则

a-b=a+(-b)

数乘

实数λ与向量a相乘的运算简称为数乘向量,记作λa

(1)|λa|=;

(2)当λ0时,λa的方向与a的方向;当λ0时,λa的方向与a的方向;当λ=0或a=0时,λa=

λ(μa)=;

(λ+μ)a=;

λ(a+b)=

3.共线向量基本定理

如果a≠0且b∥a,则存在唯一的实数λ,使得b=.

4.向量模的不等式

向量a,b的模与a+b的模之间满足不等式

||a|-|b|||a±b||a|+|b|.

[常用结论与微点提醒]

1.中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))).

2.eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线(O不在直线BC上)，则λ＋μ＝1.

3.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更要考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.

【诊断自测】概念思考辨析＋教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)|a|与|b|是否相等和a，b的方向无关.()

(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.()

(3)向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(CD,\s\up6(→))是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.()

(4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立.()

2.(人教A必修二P5T3改编)(多选)下列说法错误的是()

A.非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))是两平行向量

B.若a＝b，b＝c，则a＝c

C.若a与b都是单位向量，则a＝b

D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等

3.(苏教必修二P47T17改编)已知a，b是两个不共线向量，向量b－ta与eq\f(1,2)a－eq\f(3,2)b共线，则实数t＝______.

4.(北师大必修二P89例6改编)如图，点O是?ABCD外一点，用eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))表示eq\o(OD,\s\up6(→))＝________.

考点一平面向量的概念

例1(1)(多选)下列命题正确的有()

A.方向相反的两个非零向量一定共线

B.零向量是唯一没有方向的向量

C.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同

D.“若A，B，C，D是不共线的四点，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))”?“四边形ABCD是平行四边形”

(2)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充分条件是()

A.a＝－b B.a∥b

C.a＝2b D.a∥b且|a|＝|b|

思维建模平行向量有关概念的四个关注点

(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.

(2)共线向量即为平行向量，