2026版创新设计高考总复习数学（人教B版）-第11节　指对同构.docxVIP

第11节指对同构

知识拓展

在解决指对混合不等式时，如恒成立求参数或证明不等式，部分试题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型(即不等式两边对应的是同一函数)，无疑大大加快解决问题的速度.找到这个函数模型的方法，我们称为同构法，其实质还是指数、对数恒等式的变换.

(1)五个常见变形：

xex＝ex＋lnx，eq\f(ex,x)＝ex－lnx，eq\f(x,ex)＝elnx－x，x＋lnx＝ln(xex)，x－lnx＝lneq\f(ex,x).

(2)三种基本模式

①积型：aea≤blnb

eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(同左：aea≤(lnb)elnb\o(――→,\s\up7(构造))f（x）＝xex，,同右：ealnea≤blnb\o(――→,\s\up7(构造))f（x）＝xlnx，,取对：a＋lna≤lnb＋ln（lnb）\o(――→,\s\up7(构造))f（x）＝x＋lnx.))

②商型：eq\f(ea,a)＜eq\f(b,lnb)

eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(同左：\f(ea,a)＜\f(elnb,lnb)\o(――→,\s\up7(构造))f（x）＝\f(ex,x)，,同右：\f(ea,lnea)＜\f(b,lnb)\o(――→,\s\up7(构造))f（x）＝\f(x,lnx)，,取对：a－lna＜lnb－ln（lnb）\o(――→,\s\up7(构造))f（x）＝x－lnx.))

③和差型：ea±a＞b±lnb

eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(同左：ea±a＞elnb±lnb\o(――→,\s\up7(构造))f（x）＝ex±x，,同右：ea±lnea＞b±lnb\o(――→,\s\up7(构造))f（x）＝x±lnx.))

题型一积型

例1若对任意x0，恒有a(eax＋1)≥2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))lnx，则实数a的最小值为________.

思维建模解决指对混合不等式时，常规的方法计算复杂，将不等式变形为f[g(x)]f[h(x)]的结构，f(x)即为外层函数，其单调性易于研究.常见变形方式：xex＝ex＋lnx，eq\f(ex,x)＝ex－lnx，eq\f(x,ex)＝elnx－x，x＋lnx＝ln(xex)，x－lnx＝lneq\f(ex,x).

训练1(2025·哈尔滨模拟)设实数m0，若对任意的正实数x，不等式emx≥eq\f(lnx,m)恒成立，则m的最小值为()

A.eq\f(1,e) B.eq\f(1,2e)

C.eq\f(2,e) D.eq\f(e,3)

题型二商型

例2已知函数f(x)＝aexlnx，g(x)＝x2＋xlna，a0.设函数h(x)＝g(x)－f(x)，若h(x)0对任意的x∈(0，1)恒成立，则实数a的取值范围是________.

思维建模商型eq\f(a,ea)≤eq\f(lnb,b)同构，三种同构途径：

(1)同左：eq\f(a,ea)≤eq\f(lnb,elnb)，构造函数f(x)＝eq\f(x,ex)；

(2)同右：eq\f(lnea,ea)≤eq\f(lnb,b)，构造函数f(x)＝eq\f(lnx,x)