2026版创新设计高考总复习数学（人教B版）-第2节　用样本估计总体.docxVIP

第2节用样本估计总体

课标要求1.会用统计图表对总体进行估计，会求n个数据的第p百分位数.2.会用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度.

【知识梳理】

1.百分位数

(1)定义:一组数的p%(p∈(0,100))分位数指的是满足下列条件的一个数值:至少有p%的数据不大于该值,且至少有(100-p)%的数据不小于该值.

(2)确定方法:设一组数按照从小到大排列后为x1,x2,…,xn,计算i=np%的值,如果i不是整数,设i0为大于i的最小整数,取_______为p%分位数;如果i是整数,取_________为p%分位数.

2.平均数、中位数和众数

(1)平均数

①定义:如果给定的一组数是x1,x2,…,xn,则这组数的平均数为x=_____________.

这一公式在数学中常简记为x=1nn∑

②性质:一般地,利用平均数的计算公式可知,如果x1,x2,…,xn的平均数为x,且a,b为常数,则ax1+b,ax2+b,…,axn+b的平均数为_________.

(2)中位数

有奇数个数,且按照从小到大排列后为x1,x2,…,x2n+1,则称_______为这组数的中位数;如果一组数有偶数个数,且按照从小到大排列后为x1,x2,…,x2n,则称__________为这组数的中位数.

(3)众数

一组数据中,出现次数_______的数据称为这组数据的众数.

3.方差和标准差

(1)方差:如果x1,x2,…,xn的平均数为x,则方差可用求和符号表示为s2=_______________=1nn∑

性质:如果a,b为常数,则ax1+b,ax2+b,…,axn+b的方差为__________.

(2)标准差:方差的称为标准差.一般用s表示,即样本数据x1,x2,…,xn的标准差为s=1n

性质:如果a,b为常数,则ax1+b,ax2+b,…,axn+b的标准差为|a|s.

[常用结论与微点提醒]

1.若x1，x2，…，xn的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为meq\o(x,\s\up6(－))＋a.

2.数据x1，x2，…，xn与数据x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a的方差相等，即数据经过平移后方差不变.

3.若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.

【诊断自测】概念思考辨析＋教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)平均数、众数与中位数从不同角度描述了一组数据的集中趋势.()

(2)一组数据的中位数必为其中一个数.()

(3)方差越大，数据越集中.()

(4)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均数改变，方差不变.()

2.(人教A必修二P181T1原题)为了合理调配电力资源，某市欲了解全市50000户居民的日用电量.若通过简单随机抽样从中抽取了300户进行调查，得到其日用电量的平均数为5.5kW·h，则可以推测全市居民用户日用电量的平均数()

A.一定为5.5kW·h B.高于5.5kW·h

C.低于5.5kW·h D.约为5.5kW·h

3.(北师大必修一P170例3改编)为了判断甲、乙两名同学本学期几次数学考试成绩哪个较稳定，通常需要知道这两人的()

A.平均数 B.众数

C.方差 D.频率分布

4.(苏教必修二P257T1改编)已知一组数据1，3，2，5，4，则这组数据的标准差为________，25%分位数为________.

考点一总体百分位数的估计

例1(1)(2025·河北名校联考)养鸡是农业养殖的一个重要组成部分，随着人们对健康饮食的重视和市场对禽肉需求的增长，养鸡业发展迅速.如图为某小型养鸡场2018～2024年每年养鸡数量(单位：百只)的统计图：

则该养鸡场这7年养鸡数量的第60百分位数是()

A.45 B.60

C.80 D.85

(2)将高三某班60名学生参加某次数学模拟考试所得的成绩(成绩均为整数)整理后画出频率分布直方图如图，则此班的模拟考试成绩的80%分位数是________.(结果保留两位小数)

思维建模1.计算一组数据的第p百分位数的步骤

2.直方图中可运用面积和求第p百分位数或按下列方法计算：

(1)确定百分位数所在的区间[a，