2026版创新设计高考总复习数学（人教B版）-第2节　排列与组合.docxVIP

第2节排列与组合

课标要求1.理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.2.能解决简单的实际问题.

【知识梳理】

1.排列与组合的概念

名称

定义

排列

从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象

并按照排成一列,称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列

组合

并成一组,称为从n个不同对象中取出m个对象的一个组合

2.排列数与组合数

(1)从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有的个数,称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数,用符号Anm

(2)从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有的个数,称为从n个不同对象中取出m个对象的组合数,用符号Cnm表示.

3.排列数、组合数的公式及性质

公式

(1)Aeq\o\al(m,n)＝____________＝eq\f(n！,（n－m）！)

(2)Ceq\o\al(m,n)＝AnmAmm

＝______________(n，m∈N*，且m≤n).特别地Ceq\o\al(0,n)＝1

性质

(1)0！＝______；Aeq\o\al(n,n)＝________

(2)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；Ceq\o\al(r,n)＝________

[常用结论与微点提醒]

1.排列数、组合数常用公式

(1)Aeq\o\al(m,n)＝(n－m＋1)Aeq\o\al(m－1,n).

(2)Aeq\o\al(m,n)＝nAeq\o\al(m－1,n－1).

(3)(n＋1)！－n！＝n·n！.

(4)kCeq\o\al(k,n)＝nCeq\o\al(k－1,n－1).

(5)Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m,n－1)＋…＋Ceq\o\al(m,m＋1)＋Ceq\o\al(m,m)＝Ceq\o\al(m＋1,n＋1).

2.解决排列、组合问题的十种技巧

(1)特殊元素优先安排.

(2)合理分类与准确分步.

(3)排列、组合混合问题要先选后排.

(4)相邻问题捆绑处理.

(5)不相邻问题插空处理.

(6)定序问题倍缩法处理.

(7)分排问题直排处理.

(8)“小集团”排列问题先整体后局部.

(9)构造模型.

(10)正难则反，等价转化.

【诊断自测】概念思考辨析＋教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.()

(2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.()

(3)若组合式Ceq\o\al(x,n)＝Ceq\o\al(m,n)，则x＝m成立.()

(4)(n＋1)！－n！＝n·n！.()

(5)kCeq\o\al(k,n)＝nCeq\o\al(k－1,n－1).()

2.(苏教选修二P69T4原题)下列各式中，不等于n！的是()

A.Aeq\o\al(n,n) B.eq\f(1,n＋1)Aeq\o\al(n＋1,n＋1)

C.Aeq\o\al(n,n＋1) D.nAeq\o\al(n－1,n－1)

3.(人教A选修三P37T1(3)改编)安排6名歌手演出排序时，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，则不同排法的种数是()

A.120 B.240

C.480 D.720

4.(人教B选修二P22练习BT1(1)改编)Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(5,8)＋Ceq\o\al(6,9)＋Ceq\o\al(7,10)＝________.

考点一排列问题

例1有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法数.

(1)选5人排成一排；

(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；

(3)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；

(4)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边；

(5)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定.

思维建模排列应用问题的分类与解法

对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于