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第16节解析几何中的融合创新问题

题型分析解析几何中的融合创新问题主要有以下几个方面:(1)与圆锥曲线有关的新定义问题;(2)圆锥曲线与数列的交汇问题;(3)圆锥曲线与导数的交汇问题.

题型一与圆锥曲线有关的新定义问题

例1(2025·石家庄调研)在平面直角坐标系xOy中,重新定义两点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的“距离”为|AB|=|x2-x1|+|y2-y1|,我们把到两定点F1(-c,0),F2(c,0)(c0)的“距离”之和为常数2a(ac)的点的轨迹叫“椭圆”.

(1)求“椭圆”的方程;

(2)根据“椭圆”的方程,研究“椭圆”的范围、对称性,并说明理由;

(3)设c=1,a=2,作出“椭圆”的图形,设此“椭圆”的外接椭圆为C,C的左顶点为A,过F2作直线交C于M,N两点,△AMN的外心为Q,求证:直线OQ与MN的斜率之积为定值.

思维建模1.题干中定义“椭圆”的距离:|AB|=|x2-x1|+|y2-y1|称为曼哈顿距离,平面内到一个定点的曼哈顿距离等于定值的点的轨迹是一个正方形,到两个定点的距离之和等于定值的点的轨迹是一个六边形.

2.解决与曼哈顿距离有关的问题一般要利用绝对值的意义求解.

训练1(2024·武汉模拟)已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,若△ABC的三个顶点都在抛物线E上,且满足eq\o(FA,\s\up6(→))+eq\o(FB,\s\up6(→))+eq\o(FC,\s\up6(→))=0,则称该三角形为“核心三角形”.

(1)设“核心三角形ABC”的一边AB所在直线的斜率为2,求直线AB的方程;

(2)已知△ABC是“核心三角形”,证明:△ABC三个顶点的横坐标都小于2.

题型二圆锥曲线与数列、导数的交汇问题

例2(2024·新高考Ⅱ卷)已知双曲线C:x2-y2=m(m0),点P1(5,4)在C上,k为常数,0k1.按照如下方式依次构造点Pn(n=2,3,…),过点Pn-1作斜率为k的直线与C的左支交于点Qn-1,令Pn为Qn-1关于y轴的对称点,记Pn的坐标为(xn,yn).

(1)若k=eq\f(1,2),求x2,y2;

(2)证明:数列{xn-yn}是公比为eq\f(1+k,1-k)的等比数列;

(3)设Sn为△PnPn+1Pn+2的面积,证明:对于任意的正整数n,Sn=Sn+1.

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