2026版创新设计高考总复习数学（人教B版）-第15节　求值、证明、探索性问题.docxVIP

第15节求值、证明、探索性问题

题型分析解析几何中的求值、证明、探索性问题是高考考查的热点，难度较大，常出现在高考题比较靠后的位置.求值问题常涉及求方程、斜率、参数值或范围、面积、周长等；证明、探索性问题常涉及定点、定值、最值、范围问题等.

题型一求值问题

例1(2024·北京卷)已知椭圆E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)，以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点(0，t)(teq\r(2))且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，过点A和C(0，1)的直线AC与椭圆E的另一个交点

为D.

(1)求椭圆E的方程及离心率；

(2)若直线BD的斜率为0，求t的值；

思维建模求值问题往往考查以面积、斜率、坐标、代数式等为背景的问题，对计算能力的要求较高；另外，求值时，也要考虑某些特殊情形，如直线斜率不存在时的特殊值.

训练1(2022·新高考Ⅰ卷)已知点A(2，1)在双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,a2－1)＝1(a1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为0.

(1)求l的斜率；

(2)若tan∠PAQ＝2eq\r(2)，求△PAQ的面积.

题型二证明问题

例2(2024·全国甲卷)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(ab0)的右焦点为F，点Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))在C上，且MF⊥x轴.

(1)求C的方程；

(2)过点P(4，0)的直线交C于A，B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥y轴.

思维建模圆锥曲线中的证明问题常见的有：

位置关系方面的：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定

点等.

(2)数量关系方面的：如存在定值、恒成立、相等等.

在熟悉圆锥曲线