2026版创新设计高考总复习数学（人教B版）-第11节　三角函数模型及解三角形的实际应用.docxVIP

第11节三角函数模型及解三角形的

实际应用

课标要求1.会用三角函数解决简单的实际问题，体会利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识以及方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.

【知识梳理】

1.仰角和俯角

在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线________叫俯角(如图1).

2.方位角

从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为α(如图2).

3.方向角

正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等.

4.坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.

[常用结论与微点提醒]

1.不要搞错各种角的含义，不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.

2.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系，从而应用正、余弦定理求解.

【诊断自测】概念思考辨析＋教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)东北方向就是北偏东45°的方向.()

(2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.()

(3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).()

(4)方位角与方向角其实质是一样的，均是用来确定观察点与目标点之间的位置关系.()

2.(人教A必修二P51T3改编)如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向，灯塔B在观察站南偏东60°方向，则灯塔A在灯塔B()

A.北偏东10°方向 B.北偏西10°方向

C.南偏东80°方向 D.南偏西80°方向

3.(人教A必修二P49例10改编)如图所示，为测量某树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖P的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60m，则树的高度为()

A.(30eq\r(3)＋30)m B.(15eq\r(3)＋30)m

C.(30eq\r(3)＋15)m D.(15eq\r(3)＋15)m

4.(苏教必修二P108T10改编)如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为________km.

考点一三角函数模型

例1(多选)如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心O距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时(图中点P0)开始计时，则()

A.点P第一次到达最高点需要20秒

B.当水轮转动155秒时，点P距离水面2米

C.当水轮转动50秒时，点P在水面下方，距离水面2米

D.点P距离水面的高度h(米)与t(秒)的函数解析式为h＝4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,30)t＋\f(π,3)))＋2

思维建模三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.

训练1(多选)(2024·河南名校调研)钱塘江出现过罕见潮景“鱼鳞潮”.“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮.若波状涌潮的图象近似函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A，ω∈N*，|φ|\f(π,3)))的图象，而破碎的涌潮的图象近似f′(x)的图象.已知当x＝2π时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为－4，则以下四种说法正确的是()

A.ω＝2

B.feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝eq\r(6)＋eq\r(2)

C.f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))是偶函数

D.f′(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，0))上单调

考点二解三角形应用举例

角度1测量距离问题

例2(2025·临沂模拟)在同一平面上有相距14公里的A，B两座炮台，A在B的正东方.某次演习时，A向北偏西eq\f(π,2)－θ方向发射炮弹，B向北偏东eq\f(π