2026版创新设计高考总复习数学（人教B版）-第10节　圆锥曲线的切线与光学性质.docxVIP

第10节圆锥曲线的切线与光学性质

知识拓展

1.圆锥曲线的切线问题常用方法有：

(1)几何法：比如求圆的切线，常用圆心到直线的距离等于半径来解决切线问题；

(2)代数法：比如涉及椭圆的切线问题，也常常联立直线与椭圆的方程根据Δ＝0来求解；比如涉及抛物线的切线问题，有时也可以通过求导求解；

(3)结论法(适用于小题)：

①圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)处的切线方程是x0x＋y0y＝r2；其外一点P(x0，y0)所引两条切线切点弦方程是x0x＋y0y＝r2.

②椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝(ab0)上一点P(x0，y0)处的切线方程是eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1；其外一点P(x0，y0)所引两条切线切点弦方程是eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1.

③双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)上一点P(x0，y0)处的切线方程是eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝1；其外一点P(x0，y0)所引两条切线切点弦方程是eq\f(x0x,a2)－eq\f(y0y,b2)＝1.

④抛物线y2＝2px(p0)上一点P(x0，y0)处的切线方程是y0y＝p(x＋x0)；其外一点P(x0，y0)所引两条切线方程是y0y＝p(x＋x0).

注：替换的规则是x2→x0x，y2→y0y，x→eq\f(x0＋x,2)，y→eq\f(y0＋y,2).

2.圆锥曲线的光学性质

(1)抛物线的光学性质：如图1所示，从抛物线的焦点F发出的光线，被抛物线反射后，得到的是一系列的与抛物线对称轴平行(或重合)的光线；如图2所示，设抛物线在P处的切线l交对称轴于点Q，PM⊥切线l交对称轴于点M，则焦点F是QM的中点.

(2)椭圆的光学性质：如图3所示，从椭圆的一个焦点发出的光线，被椭圆反射后，必定经过另一个焦点；如图4所示，椭圆在点P处的切线为l，直线PQ⊥l交直线F1F2于点Q，则PQ平分∠F1PF2，由角平分线性质定理，eq\f(|PF1|,|PF2|)＝eq\f(|QF1|,|QF2|).

(3)双曲线的光学性质：如图5所示，从双曲线一个焦点发出的光线，被双曲线反射后，反射光线的反向延长线交于另一个焦点，如图6所示，双曲线在点P处的切线l与直线F1F2相交于点Q，则PQ平分∠F1PF2，由角平分线性质定理，eq\f(|PF1|,|PF2|)＝eq\f(|QF1|,|QF2|).

题型一切线问题

例1已知椭圆方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，求该椭圆在点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))处的切线方程.

思维建模求切线的两种情况

(1)在曲线上某点的切线，用几何法(圆)、联立方程组法、导数法以及结论法可进行求解，其中结论适用于小题，解答时需要证明.

(2)过曲线上某点的切线，一般用联立方程组，判别式法来求斜率，但需讨论斜率的存在与否.

训练1(1)(2025·青岛调研)圆x2＋y2＝r2在点(x0，y0)处的切线方程为x0x＋y0y＝r2，类似地，可以求得椭圆eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,2)＝1在点(2，1)处的切线方程为________.

(2)过点P(2，2)作抛物线y2＝2x的切线l，切线l在y轴上的截距为________.

题型二切点弦问题

例2(2025·成都诊断)已知点P是直线l：y＝－2上一个动点，过点P作轨迹E：x2＝8y的两条切线，焦点为F，切点分别为A，B.

求证：(1)直线AB过定点；

(2)∠PFA＝∠PFB.

思