《高等数学》教案 第36课 向量的数量积与向量积.docxVIP

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课题

向量的数量积与向量积

课时

2课时（90min）

教学目标

知识技能目标：

（1）熟练掌握向量的数量积的定义、性质及计算方法

（2）熟练掌握向量的向量积的定义、性质及计算方法

素质目标：

（1）通过对平面向量数量积定义的剖析，培养学生分析问题发现问题能力，使学生的思维能力得到训练

（2）通过本节课的学习，激发学生学习数学的兴趣，体会学习的快乐

教学重难点

教学重点：数量积、向量积的定义和性质

教学难点：数量积、向量积的计算方法

教学方法

讲解法、问答法、讨论法

教学用具

电脑、投影仪、多媒体课件、教材

教学过程

主要教学内容及步骤

课前任务

【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，预习本节课要讲的知识

【学生】完成课前任务

考勤

【教师】使用APP进行签到

【学生】按照老师要求签到

案例导入

【教师】提出问题：

在物理中，我们已经知道，若力F作用在物体上，使其产生位移s，则该力所做的功为

，

即F所做的功是两个向量F和s的模相乘再乘以它们夹角的余弦，这种运算还会在哪些问题中遇到？

【学生】聆听、思考、讨论、回答

传授新知

【教师】通过大家的发言和讲解，引入新的知识点，讲解向量的数量积与向量积的相关知识

一、向量的数量积

【教师】提出向量的数量积，并强调数量积的计算方法

定义1两个向量a和b的模及它们之间夹角的余弦的乘积，叫做向量a和b的数量积（或点积），记作，即

．（7-3）

由数量积的定义可以推得：

（1）；

（2）两个非零向量a和b互相垂直的充要条件是

．

两个向量的数量积满足下列运算规律：

交换律 ．

分配律 ．

与数乘结合律 ．

根据数量积的定义，基本单位向量满足下列关系：

，

．

由上面这些结论，我们可以推导出两个向量的数量积的坐标表示式（推导略）．

设，，则

．（7-4）

即两向量的数量积等于对应坐标乘积之和．

由于，当为非零向量时，有

．（7-5）

这是用坐标计算两向量夹角的公式．

从这个公式可以看出，向量垂直的充要条件是

．（7-6）

【教师】通过例题，帮助学生掌握向量的数量积的计算方法

例1设，，求．

解．

例2已知三点，，，求和的夹角．

解因为

，

，

所以

．

于是

．

二、向量的向量积

【教师】提出向量的向量积，并强调向量积的计算方法

定义2两个向量a和b的向量积是一个向量，记作，它的模和方向分别定义为

（1）；

（2）垂直于a和b，且符合右手法则，如图7-6（a）所示．

由图7-6（b）可知，模的几何意义是以为两邻边的平行四边形的面积S，即

．

（a）（b）

图7-6

由向量积的定义可推得：

（1）；

（2）两个非零向量a和b平行的充要条件是．

两个向量的向量积满足下列运算规律：

反交换律 ．

分配律 ．

与数的结合律 ．

根据向量积的定义，基本单位向量满足下列关系：

，

．

由上面的结论，我们可以推导出两个向量的向量积的坐标表示式（推导略）．

设，，则

．

为了便于记忆，把上式改写成行列式形式

【教师】通过例题，帮助学生掌握向量的向量积的计算方法

例3已知，，计算．

解

．

例4求垂直于向量和的单位向量．

解由向量积的定义，是垂直a和b的向量，而

，

所以，于是同时垂直a和b的单位向量为

．

同样，也是垂直a和b的单位向量．

【学生】聆听、思考、理解、记忆

拓展训练

【教师】综合应用数量积和向量积

【学生】聆听、记录、思考

强化练习

【教师】对学生进行分组，每组选出一名组长，然后组织学生以小组为单位，完成以下习题

1．设给定向量，．求：

（1）； （2）； （3）．

2．设向量，，试求：

（1）； （2）； （3）； （4）．

【学生】分组、思考、讨论、解题

【教师】公布正确答案，并讲解解题思路

【学生】聆听、思考、对比自己的计算结果和演算过程，提升解题技巧

课堂小结

【教师】简要总结本节课的要点

本节主要学习了向量的数量积的定义、性质及计算方法，以及向量的向量积的定义、性质及计算方法

【学生】总结回顾知识点

作业布置

【教师】布置课后作业

回顾本节课所讲知识，完成能力训练7-2的习题

【学生】完成课后任务

教学反思