《高等数学》教案 第42课 高阶偏导数与全微分.docxVIP

PAGE2

PAGE2

PAGE5

PAGE5

课题

高阶偏导数与全微分

课时

2课时（90min）

教学目标

知识技能目标：

（1）理解全微分的概念，计算多元函数的全微分

（2）计算高阶偏导数，掌握全微分在近似方面的应用

素质目标：

（1）解决问题，要从本质出发，多思维、多角度思考

（2）了解和认识事物的全面，要多方面考虑

教学重难点

教学重点：计算高阶偏导数，理解全微分的概念，计算多元函数的全微分

教学难点：计算高阶偏导数，计算多元函数的全微分，全微分在近似方面的应用

教学方法

讲解费、问答法、讨论法

教学用具

电脑、投影仪、多媒体课件、教材

教学过程

主要教学内容及步骤

课前任务

【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过文旌课堂APP或其他学习软件，预习本节课的知识

【学生】完成课前任务

考勤

【教师】使用文旌课堂APP进行签到

【学生】按照老师要求签到

问题导入

【教师】提出问题：

什么是高阶偏导数？什么是全微分？

【学生】聆听、思考、讨论、回答

传授新知

【教师】通过大家的发言，引入新的知识点，讲解高阶偏导数和全微分的概念

从上一节可以看到，一个多元函数经过求偏导数之后，仍然是原来那些自变量的函数，只要有关偏导数存在，就可以对偏导数继续求偏导数．

一、高阶偏导数

【教师】提出高阶偏导数的定义

定义1如果二元函数的偏导数，仍然可导，那么它们的偏导数称为函数的二阶偏导数．按照对自变量求导数次序不同，二元函数有下列四个二阶偏导数

，

，

，

．

其中，和称为混合偏导数．它们是不同的，是先对x后对y求偏导，是先对y后对x求偏导．

三阶及三阶以上偏导数可类似定义，二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数．

【教师】通过例题，帮助学生掌握高阶偏导数的求法

例1求函数的二阶偏导数．

解先求函数的一阶偏导数

，

．

再求二阶偏导数

，，

，．

【教师】对例题进行总结

从例1看出，的两个混合偏导数是相等的，即．一般来说，这样两个二阶混合偏导数是有区别的，但我们可以证明（从略），当与都连续时，求导的结果与先后次序无关，即．

对于二元以上的函数也可以类似地定义高阶偏导数，而且高阶混合偏导数在连续的条件下也与求导次序无关．

二、全微分

在实际问题中，有时需要研究多元函数各个自变量都取得增量时因变量所获得的增量，即全增量问题．

【教师】通过引例，引出全微分的定义

【引例1】如图8-3所示，用S表示边长分别为x，y的矩形的面积，显然，如果边长x与y分别取得改变量，，则面积S相应地有一个改变量

．

图8-3

从上式可看出由两部分组成．第一部分是，的线性函数，即图8-3中带有单条斜线的两个矩形面积的和；第二部分，当，时，是比较高阶的无穷小量．当，很小时，有．我们把叫作面积S的微分．

定义2设函数在点的某邻域内有定义，如果函数在该点的增量可表示为．其中，A，B与，无关，，是比高阶的无穷小，则称为函数在点处的全微分，记作dz，即

．

也称函数在点处可微．

对二元函数，可以证明如果函数在点的某一邻域内有连续的偏导数，，则函数在点处可微，并且

．

由于

，．

所以函数的全微分可记作

．

三元及三元以上的多元函数的全微分，也有类似公式，如三元函数的全微分存在，则

．

【教师】通过例题，帮助学生掌握全微分的求法和应用

例2求函数的全微分．

解，．

两个偏导数都是连续的，所以全微分是存在的，即

．

例3求的全微分．

解因为

，

，

所以

．

例4求函数在点处的全微分．

解因为，；，．

所以．

例5要造一个无盖的圆柱形水槽，其内半径为2米，高为4米，厚度均为0.01米，求需用材料多少立方米？

解因为圆柱体体积（其中r为底面半径，h为高），所以

．

由于

，

．

所以，需用材料约为立方米．

【学生】聆听、思考、理解、记忆

强化练习

【教师】对学生进行分组，每组选出一名组长，然后组织学生以小组为单位，完成以下习题

（1）证明当，很小时，．

（2）求函数的全微分．

【学生】分组、思考、讨论、解题

【教师】公布正确答案，并讲解解题思路

【学生】聆听、思考、对比自己的计算结果和演算过程，提升解题技巧

课堂小结

【教师】简要总结本节课的要点

计算高阶偏导数，理解全微分的概念，计算多元函数的全微分，掌握全微分的应用

【学生】总结回顾知识点

作业布置

【教师】布置课后作业

回顾本节课所讲知识，完成能力训练8-2的习题

【学生】完成课后任务

教学反思