《高等数学》教案 第45课 二重积分的概念与性质.docxVIP

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课题

二重积分的概念与性质

课时

2课时（90min）

教学目标

知识技能目标：

（1）理解二重积分的概念和性质

（2）掌握二重积分的计算方法和基本技巧

素质目标：

（1）解决问题，要从本质出发，多思维、多角度思考

（2）了解和认识事物的全面，要多方面考虑

教学重难点

教学重点：二重积分的概念和性质

教学难点：二重积分的计算方法和基本技巧

教学方法

讲解费、问答法、讨论法

教学用具

电脑、投影仪、多媒体课件、教材

教学过程

主要教学内容及步骤

课前任务

【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，预习本节课的知识

【学生】完成课前任务

考勤

【教师】使用APP进行签到

【学生】按照老师要求签到

问题导入

【教师】提出问题：

请回顾定积分的概念。

【学生】聆听、思考、回答

案例导入

【教师】提出问题：

对于形状不规则的几何体，它的体积如何求得？

设二元函数在有界闭区域D上连续，且．求以曲面为顶，以区域D为底，以平行于z轴的直线为母线的曲顶柱体的体积，如图9-1所示．

依照求曲边梯形面积的方法来求上述曲顶柱体的体积．

（1）将区域D任意分成n个小区域，，…，，仍然用表示第i个小区域的面积，这样就把曲顶柱体分成了n个小曲顶柱体；

（2）为了求每个小曲顶柱体的体积，在每个小区域内任取一点，用高为，底为的平顶柱体体积来近似代替，即

；

（3）曲顶柱体体积V可近似地表示为

；

（4）用表示n个小区域中的直径最大值（有界闭区域的直径是指该区域中任意两点间距离的最大值）．当时，上述和式的极限就是曲顶柱体体积V．

．

【学生】聆听、思考、讨论、回答

传授新知

【教师】通过大家的发言，引入新的知识点，讲解二重积分的概念与性质等知识

一、二重积分的概念

【教师】通过两个例题，提出二重积分的定义

为了引入二重积分的概念，先考察两个实例．

例1【曲顶柱体的体积】设二元函数在有界闭区域D上连续，且．求以曲面为顶，以区域D为底，以平行于z轴的直线为母线的曲顶柱体的体积，如图9-1所示．

图9-1

依照求曲边梯形面积的方法来求上述曲顶柱体的体积．

（1）将区域D任意分成n个小区域，，…，，仍然用表示第i个小区域的面积，这样就把曲顶柱体分成了n个小曲顶柱体；

（2）为了求每个小曲顶柱体的体积，在每个小区域内任取一点，用高为，底为的平顶柱体体积来近似代替，即

；

（3）曲顶柱体体积V可近似地表示为

；

（4）用表示n个小区域中的直径最大值（有界闭区域的直径是指该区域中任意两点间距离的最大值）．当时，上述和式的极限就是曲顶柱体体积V．

．

例2【平面薄片的质量】设有一平面薄片被置于xOy平面上，它所占有的区域记为D，如图9-2所示．假设此薄片的质量分布是不均匀的，其面密度为，求这个平面薄片的质量．

图9-2

当薄片质量分布均匀时，其质量等于面密度乘薄片面积．因此，我们仍采取分割的方法来求质量分布不均匀薄片的质量．

（1）将区域D分割成n个小区域，，…，，仍然用表示第i个小区域的面积；

（2）在每个小区域内任取一点，近似地将小块看成是质量均匀分布的，其面密度为，则小块的质量近似地为

；

（3）整个薄片的质量M可近似地表示为

；

（4）用表示n个小区域中的直径最大值，当时，上述和式的极限就是平面薄片的质量

．

类似于定积分的引入，我们抛开上述两个实例的实际意义，可以抽象出二重积分的概念．

定义设是有界闭区域D上的有界函数．将D任意分成n个小区域，，…，，小区域的面积仍记为．在内任取一点，作和式，如果当各小区域中的最大直径趋于零时，若此和式的极限存在，则称此极限为函数在区域D上的二重积分，记作，即

．

其中，称为被积函数，D称为积分区域，称为面积元素，称为积分表达式．

根据二重积分的定义，上述讨论的曲顶柱体体积和平面薄片的质量可分别表示为

和．

【教师】讲述二重积分定义的注意事项

下面对二重积分的定义作两点说明：

（1）如果二重积分存在，就称函数在区域D上是可积的．可以证明，如果函数在有界闭区域D上连续，则在区域D上可积；

（2）在直角坐标系中，二重积分可记为

．

其中，称为直角坐标系中的面积元素．

【教师】介绍二重积分的几何意义

二重积分的几何意义：当时，等于曲面在区域D上所对应的曲顶柱体的体积．

二、二重积分的性质

【教师】提出二重积分的性质

二重积分与一元函数定积分具有类似的性质．下面所涉及的函数均假定在D上可积．

性质1非零常数可以提到二重积分符合外面，即

（k为非零常数）．

性质2两个函数代数和的二重积分等于二重积分的代数和，即

．

性质3若区域D分为两个子区域和，如图9-3所示，则

．

图9-3

性质4若在区域