《高等数学》教案 第32课 一阶线性微分方程.docxVIP

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课题

一阶线性微分方程

课时

2课时（90min）

教学目标

知识技能目标：

（1）理解一阶线性微分方程的概念，掌握一阶线性微分方程的求解方法

（2）熟练掌握用公式及常数变易法求解一阶线性微分方程的方法

素质目标：

（1）通过一阶线性微分方程计算能力的提升，培养其创新精神

（2）培养学生主动交流的合作精神，培养学生善于探索的思维品质

教学重难点

教学重点：一阶线性微分方程的概念及求解

教学难点：一阶线性微分方程公式法的推导

教学方法

讲解法、问答法、讨论法

教学用具

电脑、投影仪、多媒体课件、教材

教学过程

主要教学内容及步骤

课前任务

【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，预习本节课要讲的知识

【学生】完成课前任务

考勤

【教师】使用APP进行签到

【学生】按照老师要求签到

问题导入

【教师】提出问题：

一曲线过原点，且在点处的切线斜率等于，求此曲线方程．

你能写出这个方程表达式吗？

【学生】聆听、思考、讨论、回答

【教师】公布正确答案，并引入一阶线性微分方程的概念

传授新知

【教师】引入新的知识点，讲解一阶线性微分方程的相关知识

【教师】提出一阶线性微分方程的定义，并强调其特点

在解决实际问题中，经常会遇到这样的一阶微分方程，它的未知函数和未知函数的导数都是一次的，这类方程称为一阶线性微分方程．

例如，某曲线上任意点的切线斜率是该点横、纵坐标之差，且曲线经过（1，0）点，求该曲线方程．

分析设曲线方程为，则曲线在点处的切线斜率为．根据题意有

，

即，

初始条件为．

这个方程未知函数及其导数都是一次的，是一阶线性微分方程．

一阶线性微分方程的一般形式是

，

其中都是x的已知连续函数．

，上式变为

，

称为一阶线性齐次微分方程．

一、一阶线性齐次微分方程

一阶线性齐次微分方程是可分离变量微分方程，分离变量得

．

两边积分得

．

化简得．

这就是一阶线性齐次微分方程的通解．

二、一阶线性非齐次微分方程

【教师】通过常数变易法，求解一阶线性微分方程

前面以求出齐次方程的通解为

．

其中为任意常数．由此猜想非齐次方程也有这种形式的解，但其中不是常数，而是某个的函数，问题归结为是否存在这样的函数，使得

，

是非齐次方程的解，现在假设是方程的解，则

=．

将代入方程并化简，得

，

即，

两边积分，得

．

于是，这样的存在，将上式代入，得方程的通解公式为

，

即．

式中右端的第一项是对应的齐次方程的通解，第二项是非齐次方程的一个特解（取=0）．由此可知：一阶线性非齐次方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和．

上述将对应齐次方程通解中的为任意常数换为待定函数，以求非齐次方程的方法，称为常数变易法．

【教师】通过例题，帮助学生掌握一阶线性微分方程在实际中的应用

例1解方程．

解法1（常数变易法）：对应的齐次方程的通解为

．

将常数变为函数，得，

将代入原方程并化简，得

，

于是，

积分得.

所以原方程的通解为

．

解法2（公式法）：

将，代入非齐次方程的通解公式得

.

例2【曲线方程】求前面例如问题中的曲线方程．

解由前面分析得微分方程

，．

对应的齐次方程的通解公式为

，

将常数变为函数，得,

将代入原方程并化简，得

，

于是，

积分得

．

所以方程的通解为

，

把初始条件代入通解中，得C=2，故所求曲线方程为

．

例3【飞行员跳伞问题】假设体重为m的飞行员在降落伞张开后所受空气阻力与降落速度成正比，开始降落的速度为零，求其降落速度与时间的函数关系．

解设降落速度为，降落时飞行员所受重力mg的方向与的方向一致，所受阻力与的方向相反（k为比例系数且大于0），从而在降落过程中飞行员所受的合力为．

根据牛顿第二定律，得微分方程

，

即，

初始条件．

这是一阶线性非齐次微分方程，利用通解公式可得

，

将初始条件，代入得．于是所求函数为

．

可以看出，当t充分大时，越来越小，速度逐渐接近于匀速，故飞行员跳伞速度不会无限增大，飞行员就会完好无损地降落到地