《高等数学》教案 第37课 平面方程.docxVIP

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课题

平面方程

课时

2课时（90min）

教学目标

知识技能目标：

（1）掌握平面方程的各种表示方法

（2）熟练掌握特殊位置平面的表示方法

（3）了解平面与其法向量之间的关系

素质目标：

（1）培养学生勇于探索，善于发现，独立的意识，不断超越自我的创新品质

（2）通过本节课的学习，激发学生学习数学的兴趣，体会学习的快乐

教学重难点

教学重点：平面方程的求法、两平面的夹角

教学难点：平面的几种表示及其应用

教学方法

讲解法、问答法、讨论法

教学用具

电脑、投影仪、多媒体课件、教材

教学过程

主要教学内容及步骤

课前任务

【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，预习本节课内容

【学生】完成课前任务

考勤

【教师】使用APP进行签到

【学生】按照老师要求签到

问题导入

【教师】提出问题：

什么是平面的法向量？

【学生】聆听、思考、讨论、回答

传授新知

【教师】通过大家的发言和讲解，引入新的知识点，讲解平面方程的相关知识

一、平面方程

【教师】提出平面方程

设在空间直角坐标系中给定一个平面（图7-7），在平面内取定一点，并以表示与平面垂直的任意非零向量，称为平面的法向量．设为平面上任意一点，那么法向量n与向量垂直，则

图7-7

．

即

．

于是有

．（7-8）

由于n是非零向量，可知A，B，C不全为零．方程（7-8）称为平面的点法式方程．方程（7-8）又可写成

．（7-9）

其中，，可以看出，平面的方程是一个三元一次方程，反过来，任意一个三元一次方程（7-9）都表示一个平面，方程（7-9）称为平面的一般方程．

【教师】通过例题，帮助学生掌握平面方程的应用

例1已知一个平面过点且与向量垂直，求此平面方程．

解由平面的点法式方程，得

，

即所求平面方程为

．

例2已知一平面过三点，，，求此平面方程．

解作向量，，由于平面的法向量n与，都垂直，所以可取作为平面的法向量．

，，

．

于是所求的平面方程为

，

整理得

．

例3求坐标平面的方程．

解因为单位向量k垂直于平面，故取为面的法向量，

又面过原点，于是平面的方程为

，

即坐标平面的方程是．

实际上，因为平面上每一点的z坐标都等于0，而x，y可以任意变化，因此可直接写出平面的方程为．类似地，可得平面的方程为，平面的方程为．

二、两平面的位置关系

【教师】提出两平面的位置关系

讨论两个平面之间的相互关系可用它们的法向量来进行．

设有两个平面和，它们的方程分别为

，

．

它们的法向量分别为和．

两平面的夹角就是它们法向量的夹角，并且规定不大于．因此有

．（7-10）

当两平面的法向量互相平行或互相垂直时，这两个平面也就互相平行或互相垂直，可得到，两个平面平行的充要条件为

．（7-11）

规定若式中分母为零，则分子也为零；如果两平面重合，也认为是平行的．

两个平面垂直的充要条件为

．（7-12）

【教师】通过例题，帮助学生掌握两平面位置关系的判定

例4求平面与的夹角．

解因为，，所以

．

故

．

例5求过点且与平面平行的平面方程．

解所求平面的法向量，应用点法式，得所求平面方程．

，

即

．

类似于点到直线的距离公式，我们得到平面外一点到平面的距离公式（推导略）．

．（7-13）

这就是点到平面的距离公式．

例6求点到平面的距离．

解由式（7-13）知

．

【学生】聆听、思考、理解、记忆

拓展训练

【教师】讲解平面的几种表示及其应用

【学生】聆听、记录、思考

强化练习

【教师】对学生进行分组，每组选出一名组长，然后组织学生以小组为单位，完成以下习题

1．求过已知点M且具有已知法向量n的平面方程：

（1）；

（2）．

2．求过的平面方程．

3．判别以下各组平面是否平行？垂直？如果既不平行又不垂直，则求它们的夹角：

（1）；

（2）；

【学生】分组、思考、讨论、解题

【教师】公布正确答案，并讲解解题思路

【学生】聆听、思考、对比自己的计算结果和演算过程，提升解题技巧

课堂小结

【教师】简要总结本节课的要点

本节主要学习了平面方程，以及两平面的位置关系

【学生】总结回顾知识点

作业布置

【教师】布置课后作业

回顾本节课所讲知识，完成能力训练7-3的习题

【学生】完成课后任务

教学反思