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课题
多元函数的极值
课时
4课时（180min）
教学目标
知识技能目标：
（1）了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、求极值方法，并能够解决实际问题
（2）掌握多元函数最值的定义，能够判断多元函数的最值
素质目标：
（1）解决问题，要从本质出发，多思维、多角度思考
（2）了解和认识事物的全面，要多方面考虑
教学重难点
教学重点：多元函数极值的定义，多元函数最值的定义
教学难点：求多元函数极值，判断多元函数的最值
教学方法
讲解费、问答法、讨论法
教学用具
电脑、投影仪、多媒体课件、教材
教学过程
主要教学内容及步骤
课前任务
【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，预习本节课的知识
【学生】完成课前任务
考勤
【教师】使用APP进行签到
【学生】按照老师要求签到
问题导入
【教师】提出问题：
请简述一元函数极值和最值的定义。
【学生】聆听、思考、讨论、回答
案例导入
【教师】提出问题：
在实际问题中，常常遇到求多元函数的最大值、最小值的问题．与一元函数的情形类似，多元函数的最大值和最小值也与极值密切相关．我们以二元函数为例，介绍它的极值及其判定方法．
【学生】聆听、思考、讨论、回答
传授新知
【教师】通过大家的发言，引入新的知识点，讲解多元函数的极值问题
在实际问题中，常常遇到求多元函数的最大值、最小值的问题．与一元函数的情形类似，多元函数的最大值和最小值也与极值密切相关．我们以二元函数为例，介绍它的极值及其判定方法．
一、多元函数极值的概念
【教师】提出多元函数极值的概念
1．极值的定义
设函数在点的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于的点，如果都适合不等式
，
则称函数在点处有极大值；如果都适合不等式
，
则称函数在点处有极小值．极大值和极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点．
【教师】通过举例加深对极值的理解
例如，函数在点处有极小值．因为对于点的邻域内异于的点都有，从几何上看这是显然的，因为点是开口朝上的椭圆抛物面的顶点．
又如，函数在点处有极大值．因为对于点的邻域内异于的点都有．
再如，函数在点处既不取得极大值也不取得极小值．因为，而在点的任一邻域内，总有或成立．
如何求二元函数的极值呢？我们知道，对于可微的一元函数，可以利用一阶、二阶导数求极值；对于可微的二元函数，也可以用偏导数来解决．下面两个定理是关于二元函数极值问题的结论．
2．极值存在的必要条件
【教师】提出极值存在的必要条件
定理1设函数在点处取得极值，且在该点处的偏导数存在，则必有，．
凡能使，同时成立的点称为函数的驻点．
由定理1可知，可导函数的极值点必定是驻点，但函数的驻点不一定是极值点．例如，函数有偏导数，，点为函数的驻点，但函数在该点处无极值．
与一元函数一样，定理1只是可导函数在取得极值的必要条件，而不是充分条件，这个条件给可导函数极值点的寻求找定了范围．
3．极值存在的充分条件
【教师】提出极值存在的充分条件
定理2设函数在点的某一邻域内有连续一阶与二阶偏导数，且是一个驻点，即
，．
若，，，则在点取得极值的条件如表8-1所示．
表8-1
是极大值
是极小值
不是极值
不确定
4．二元函数极值的求法
【教师】提出极值存在的计算方法
利用定理1和定理2，我们把具有二阶连续偏导数的函数的极值的求法叙述如下：
（1）求一阶偏导数及，并解方程组
求得一切实数解，即求得一切驻点．
（2）对每个驻点，求出二阶偏导数的值A，B，C．
（3）根据的符号，按照定理2结论判定是否为极值点，是极大点还是极小点．
（4）求出函数对应极值点的函数值，即为极值．
【教师】通过例题，帮助学生掌握多元函数求极值的方法
例1求的极值．
解，．
令，，得方程组
解之得驻点为，，则有
，
，
．
整理结果，各驻点对应的极值判别如表8-2所示．
表8-2
驻点
B
C
0
?3
0
不是极值
6
?3
6
是极小值
由上表可知，点是极小点，是函数的极小值．
二、二元函数的最大值和最小值
【教师】提出二元函数的最大值和最小值的概念
与一元函数类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值．如果函数在有界闭区域D上连续，则函数在D上必定能取得最大值和最小值，且函数最大值点或最小值点必在函数的极值点或在D的边界上．因此，只需求出在各驻点和不可导点的函数值及在边界上的最大值和最小值，将这些值加以比较即可．
设函数在D上连续、偏导数存在且只有有限个驻点，则求的最大值和最小值的一般步骤如下．
（1）求函数在D内所有的驻点处的函数值；
（2）求在D的边界上的最大值和最小值；
（3）将前面得到的所有函数值进行比较，其中最大的一个就是
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