《高等数学》教案 第38课 空间直线方程.docxVIP

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课题

空间直线方程

课时

2课时（90min）

教学目标

知识技能目标：

（1）运用空间直线方程的三种形式

（2）了解空间直线与其方向向量之间的关系

素质目标：

（1）培养学生勇于探索，善于发现，独立的意识，不断超越自我的创新品质

（2）通过本节课的学习，激发学生学习数学的兴趣，体会学习的快乐

教学重难点

教学重点：空间直线方程的求法、两直线的夹角

教学难点：直线的一般式转化为对称式

教学方法

讲解法、问答法、讨论法

教学用具

电脑、投影仪、多媒体课件、教材

教学过程

主要教学内容及步骤

课前任务

【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，预习本节课内容

【学生】完成课前任务

考勤

【教师】使用APP进行签到

【学生】按照老师要求签到

问题导入

【教师】提出问题：

什么是空间直线方程？

【学生】聆听、思考、讨论、回答

传授新知

【教师】通过大家的发言和讲解，引入新的知识点，讲解空间直线方程的相关知识

一、直线方程

【教师】提出直线方程的相关概念

设在空间直角坐标系中给定一条直线L，如图7-8所示，任意取一个与这条直线平行的非零向量，称为该直线的方向向量．

图7-8

在直线L上取一个定点．设是直线L上任意一点，显然，向量与平行．因为

，．

于是由向量平行的充要条件，得

．（7-14）

这就是空间直线的点向式（或对称式）方程．

在方程（7-14）中，当分母为零时规定分子也为零．

在方程（7-14）中，如果令其比值为t，即

．

可得到

（7-15）

这就是空间直线的参数方程，其中t是参数．

另一方面，两平面相交成一直线，所以两平面方程

（7-16）

当x，y，z的对应系数不成比例时就表示一条直线．（7-16）称为空间直线的一般方程．

【教师】通过例题，帮助学生掌握直线方程的应用

例1求通过点，且与向量平行的直线的方程．

解取，则直线方程为

．

例2一条直线过点，且垂直于平面，求此直线的点向式方程和参数方程．

解平面的法向量为可作为直线的方向向量．因此，此直线的点向式方程为

．

参数方程为

例3求过点两点的直线方程．

解以为已知点（取也可以）

．

因此过的直线方程为

．

例4将直线方程化为点向式和参数方程．

解先求直线上的一个点．若令，得

解得

所以（1，1，0）是直线上一点．再求直线的方向向量．

因为直线作为两平面的交线，同时落在两平面上，所以同时垂直于两平面的法向量．取

．

于是直线的点向式方程为

．

直线的参数方程为

二、直线的夹角

【教师】提出直线的夹角，并通过例题，帮助学生理解直线夹角的求法

两直线的方向向量的夹角叫做两直线的夹角．两直线的夹角及其平行、垂直的条件，可以利用直线的方向向量来表示．

例5已知两直线的方程为

．

试求的夹角．

解先求出的方向向量

，

的方向向量．设直线的夹角为，则

．

所以

．

【学生】聆听、思考、理解、记忆

拓展训练

【教师】讲解空间直线的几种表示，及其应用

【学生】聆听、记录、思考

强化练习

【教师】对学生进行分组，每组选出一名组长，然后组织学生以小组为单位，完成以下习题

1．求过已知点M且具有已知方向向量的直线方程：

（1）；

（2）．

2．求过两点的直线点向式方程和参数方程．

3．求过点，且与直线平行的直线方程．

【学生】分组、思考、讨论、解题

【教师】公布正确答案，并讲解解题思路

【学生】聆听、思考、对比自己的计算结果和演算过程，提升解题技巧

课堂小结

【教师】简要总结本节课的要点

本节主要学习了空间直线方程的相关概念和求法，以及直线夹角的概念和求法

【学生】总结回顾知识点

作业布置

【教师】布置课后作业

回顾本节课所讲知识，完成能力训练7-4的习题

【学生】完成课后任务

教学反思