《高等数学》教案 第31课 可分离变量的微分方程.docxVIP

PAGE6

PAGE6

PAGE5

PAGE5

课题

可分离变量的微分方程

课时

2课时（90min）

教学目标

知识技能目标：

（1）理解可分离变量微分方程的概念，掌握可分离变量微分方程的求解方法

（2）熟练掌握可分离变量微分方程的求解方法

素质目标：

（1）通过学生掌握可分离变量微分方程计算能力的提升，培养其逻辑思维能力

（2）培养学生主动交流的合作精神，培养学生善于探索的思维品质

教学重难点

教学重点：求解可分离变量微分方程的方法

教学难点：可分离变量微分方程的判别

教学方法

讲解法、问答法、讨论法

教学用具

电脑、投影仪、多媒体课件、教材

教学过程

主要教学内容及步骤

课前任务

【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，预习本节课要讲的知识

【学生】完成课前任务

考勤

【教师】使用APP进行签到

【学生】按照老师要求签到

问题导入

【教师】提出问题：

18世纪末，英国人口统计学家马尔萨斯（Malthus，1766～1834），在研究了百余年的人口统计资料发现，在人口自然增长过程中，相对净增长率（出生率与死亡率之差）是常数，即单位时间内人口的增长量与人口成正比．在此假设下，Malthus人口模型为

，

求人口随时间变化的关系．

【学生】聆听、思考、讨论、回答

【教师】公布正确答案，并引入可分离变量微分方程的概念

传授新知

【教师】引入新的知识点，讲解可分离变量的微分方程的相关知识

一、可分离变量微分方程的概念

【教师】通过例题，提出可分离变量的微分方程的定义，并强调其特点

我们在解决实际问题时所建立的微分方程，有的不能像上一节遇到的微分方程那样，采用两边同时积分的方法求解，先看下面的例子．

例1一曲线过点（1，0），且曲线上任意点处的切线斜率为该点横、纵坐标之比的相反数，求该曲线方程．

解设曲线方程为，则曲线在点处的切线斜率为．根据题意有

，

初始条件为．

这个方程不能用两边同时积分的方法求解，因为微分方程的右端含有未知函数y，积分解不出来．但如果将方程作如下变形写成

，

这时方程的左端只含有未知函数y与dy，右端只含有自变量x与dx．即变量y与dy已经分离在方程的两端，此时两边可以同时积分，得

，

即（C为任意常数）．

将代入通解中，得．于是所求曲线方程为

．

通过例1我们看到，在解微分方程中，若两个变量同时出现在方程的某一端，就不能直接用两边积分的方法求解，如果能将两个变量分离，使方程的一端只含变量y及dy，另一端只含x及dx，那么就可以用两边同时积分的方法求出通解．这种求解方法称为分离变量法．变量能分离的微分方程称为可分离变量的微分方程．它的一般形式可表示为

．

求解步骤如下：

（1）分离变量；

（2）两边积分；

（3）求出积分，得通解．

其中分别是的原函数，C为任意常数．

二、可分离变量微分方程求解举例

【教师】通过例题，总结求解可分离变量微分方程的方法

例2求微分方程满足初始条件的特解．

解分离变量，得

，

两边积分，得

，

即，令，得通解为

．

将代入通解中，得，于是所求特解为．

注意：在解微分方程时，为方便起见，遇到如，等形式的积分，自然对数符号后可以不加绝对值，通解形式不变．

例3解微分方程．

解分离变量，两边同乘以2，得

，

两边积分，得

，

即，

化简，得通解

（为任意常数）．

例4【国民生产总值】1999年我国的国民生产总值（GDP）为80423亿元，如果每年的增长率保持当年的8%，问2012年我国的GDP是多少？

解令表示1999年，设第t年我国的GDP为．由题意知，从1999年起，的增长率为，得微分方程

．

分离变量，得

，

两边积分，得

，

化简，得通解

．

将代入通解中，得，所以从1999年起第t年我国的GDP为

．

将代入上式，得2012年我国的GDP预测值是

（亿元）．

例5【放射性元素的衰变】放射性物质随时间变化，质量会不断减少，这种现象称为衰变．实验证明：放射性元素在任何时刻t的衰变率与该时刻的质量成正比．若最初有50克的某放射性材料，2小时后减少10%．

（1）试确定该材料的衰变规律；

（2）预测经过多少年质量变成一半？

解（1）设该材料在时刻t的质量为，则衰变率为，由题意知

，

其中k0为比例系数，取负号是由于质量减少，衰变率．

初始条件．

分离变量，得

，

两边积分，得

，

化简，得通解

．

将代入通解中，得C=50，因此

．

将代入上式，得，所以．

故该放射性材料的衰变规律为

．

（2）质量变成一半时m=25，将其代入上式，得，即，