《高等数学》教案 第46课 二重积分的计算.docxVIP

PAGE2

PAGE2

PAGE7

PAGE7

课题

二重积分的计算

课时

4课时（180min）

教学目标

知识技能目标：

（1）掌握直角坐标系下二重积分的计算方法

（2）掌握极坐标系下二重积分的的计算方法

素质目标：

（1）解决问题，要从本质出发，多思维、多角度思考

（2）了解和认识事物的全面，要多方面考虑

教学重难点

教学重点：二重积分在直角坐标系下的计算，.二重积分在极坐标系下的计算

教学难点：化二重积分为二次积分的定限问题

教学方法

讲解费、问答法、讨论法

教学用具

电脑、投影仪、多媒体课件、教材

教学过程

主要教学内容及步骤

课前任务

【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，预习本节课的知识

【学生】完成课前任务

考勤

【教师】使用APP进行签到

【学生】按照老师要求签到

问题导入

【教师】提出问题：

在一元函数微积分中，我们已掌握了“微元法”求旋转体体积的方法，那么我们能否用微元法的思想来求曲顶柱体的体积呢？

【学生】聆听、思考、讨论、回答

传授新知

【教师】通过大家的发言，引入新的知识点，讲解二重积分的计算

一、直角坐标下二重积分的计算

【教师】提出定理，探究直角坐标系下二重积分的计算

定理1设区域D为，，如图9-4所示，函数在D上连续，则有下列公式

．（9-1）

公式（9-1）的右端是两个定积分．先对y积分，后对x积分，称之为累次积分．y称为内积分变量，x称为外积分变量．

图9-4

【教师】通过例题，帮助学生掌握直角坐标下二重积分的计算

例1计算二重积分．其中，D由，，围成．

解（1）画出积分区域D的图形，如图9-5所示，区域D上点的横坐标的变化范围是区间，因此

，，，．

（2）定限：利用公式（9-1）将二重积分写成累次积分

．

（3）计算：

图9-5

【教师】对例题进行总结

（1）计算二重积分的关键是“定限”，即写出两次定积分的上下限．常可采用下述方法来定限：先确定区域D上的点的横坐标的变化范围是，则外积分的上下限为b，a．在区间上任意取一点x，过x作平行于y轴的直线沿y轴正向穿过区域D，若入口线为，则内积分下限为，若出口线为，则内积分上限为．

（2）计算累次积分时，先计算内积分，这时积分变量是y，将x视为常量．

【教师】组织学生练习

例2计算二重积分．其中D由单位圆围成．

解（1）画出区域D的图形，如图9-6所示．

图9-6

（2）定限：单位圆与x轴交点为与．因此，外积分限，，在上任取一点x，过x用平行于y轴的直线沿y轴正方向穿过区域D．入口线是下半圆：；出口线是上半圆：由此可得内积分限．于是

．

（3）计算：

．

【教师】提出其他类型的计算方法

定理2设区域D为，，如图9-8所示，函数在D上连续，则有下列公式

．（9-2）

图9-8

在利用公式（9-2）计算二重积分时，前面的二点注释仍适用，只要略作相应的修改即可．

例3利用公式（9-2）计算，其中D由直线，及双曲线围成．

解根据图9-9可知，y的变化范围为区间，用平行x轴的直线沿x轴正方向穿过区域D，入口线为，出口线为，因此

．

图9-9

二、极坐标系下的二重积分的计算

【教师】提出极坐标系下二重积分的计算

有些二重积分，其积分区域的边界曲线用极坐标方程表示比较简便，因此，有一些二重积分在极坐标系中计算就比较简单．下面介绍在极坐标系下二重积分的计算公式．

直角坐标与极坐标之间的换算关系式为

在极坐标系下二重积分的面积元素为．

因此，有下列公式

．（9-3）

还需要把公式（9-3）右端化成累次积分．我们按下面三种情况予以说明．

（1）极点O在区域D之外，如图9-11所示．这时区域D在，两条射线之间，由的变化范围可确定外积分变量的上下限，用从极点出发的射线穿过区域D，设入口线为，出口线为，这样可以确定内积分变量r的上下限．因此，有

．（9-4）

（2）极点O在区域D之内，如图9-12所示．设区域D边界曲线方程为，则有

．（9-5）

（3）极点O在区域D的边界，如图9-13所示．此时有

．（9-6）

图9-11图9-12图9-13

【教师】通过例题，帮助学生掌握极坐标下二重积分的计算

例4计算二重积分，其中D是由中心在原点、半径为a的圆周所围成的闭区域．

解画出区域D的图形，如图9-14所示．

图9-14

在极坐标系下D可表示为

，，

于是

．

本题如果用直角坐标计算，由于积分不能用初等函数表示，所以算不出来．

一般地，