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课题
多元函数与偏导数
课时
4课时（180min）
教学目标
知识技能目标：
（1）理解多元函数的概念，掌握计算多元函数的极限，理解偏导数的概念
（2）证明多元函数的连续性
素质目标：
（1）解决问题，要从本质出发，多思维、多角度思考
（2）了解和认识事物的全面，要多方面考虑
教学重难点
教学重点：多元函数的概念，计算多元函数的极限和判断多元函数的连续性，偏导数的概念
教学难点：证明多元函数在某一点或区间上的连续性
教学方法
讲解费、问答法、讨论法
教学用具
电脑、投影仪、多媒体课件、教材
教学过程
主要教学内容及步骤
课前任务
【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，预习本节课的知识
【学生】完成课前任务
考勤
【教师】使用APP进行签到
【学生】按照老师要求签到
问题导入
【教师】提出问题：
请简述函数的概念。
【学生】聆听、思考、回答
传授新知
【教师】通过大家的发言，引入新的知识点，讲解多元函数与偏导数的相关知识
一、多元函数的概念
【教师】通过两个引例，引入多元函数的定义
在很多自然现象和实际问题中，经常会遇到多个变量之间的依赖关系．
引例1【直角三角形面积】直角三角形面积S与底边长x，高y之间具有关系
（，）．
其中，底边长x和高y是两个独立的变量，当x，y在一定范围内取一对数值时，直角三角形面积S都有一个确定的值与之对应．
引例2【理想气体状态方程】理想气体的压强p与体积V，绝对温度T之间有下列的依赖关系
(，，R为常量)．
这里V，T在一定范围内取定一对数值时，压强p就有一个确定的值与之对应．
上面两个例子的具体意义虽各不相同，但它们却有共同的性质．抽出这些问题的共性就可得出以下二元函数的定义：
设有三个变量x，y，z，如果当变量x，y在一定范围内任取一对值时，变量z按照一定的法则，总有确定的数值和这对值对应，则称z是x，y的二元函数，记作
或．
其中，x，y称为自变量，z称为函数或因变量，自变量x，y的变化范围称为函数的定义域．当自变量x，y分别取，时，函数z的对应值称为二元函数当，
时的函数值，记作或或．
类似地，可以定义三元函数以及三元以上的函数．二元及二元以上的函数统称为多元函数．
与一元函数类似，确定二元函数的定义域时，也分为两种情况：
（1）当自变量和因变量具有实际意义时，我们以自变量的实际意义确定函数的定义域；
（2）当函数是用一般解析式表达，自变量没有明确的实际意义时，我们以使自变量有意义的范围作为函数的定义域．
表示二元函数定义域的方法一般有两种：
（1）用自变量x，y满足的不等式或不等式组表示；
（2）用xOy坐标平面上的平面点集表示．
【教师】通过例题，帮助学生掌握多元函数定义域的求法
例1求函数的定义域．
解由根式函数的要求可知，该函数的定义域满足
，
所以，定义域为
．
即函数定义域的图形是以原点为圆心，半径为1的圆内及圆周上点的全体．
例2求函数的定义域．
解函数的定义域为，即
．
在几何上其图形为xOy平面上位于直线上方的半平面，但不包括直线本身，如图8-2阴影部分所示．
图8-2
二、偏导数的概念
【教师】提出偏导数的定义
研究一元函数变化率时引入了导数的概念，对于多元函数也需要讨论它的变化率．在实际问题中，常常需要了解一个受到多种因素制约的变量，在其他因素固定不变的情况下，该变量只随一种因素变化的变化率问题．
定义8.1.2设函数在点的某一邻域内有定义，当y固定在，而x在处有增量时，相应函数有增量
，
如果极限
，
存在，则称此极限值为函数在点处对x的偏导数，记为
，或，或，或．
类似地，可以定义函数在点处对y处的偏导数，记为
，
也可记为
，或，或．
如果函数在平面区域D内每一点处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数显然将随x，y取值不同而变化，即它仍是x，y的函数，我们称其为函数对自变量x的偏导函数，记作
，或，或，或．
类似地，可以定义函数对自变量y的偏导函数，记作
，或，或，或．
由偏导数的概念可知
，．
以后在不混淆的情况下也把偏导函数简称偏导数．
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数，如三元函数在点处对x的偏导数定义为
．
【教师】通过例题，帮助学生掌握多元函数偏导数的求法
例3求在点处的偏导数．
解把y看作常量，得．把x看作常量，得．
将，带入上面的结果，得
，．
例4求的偏导数．
解把y看作常量，得．把x看作常量，得．
【学生】聆听、思考、理解、记忆
强化练习
【教师】对学生进行分组，每组选出一名组长，然后组织学生以小组为单位，完成以下习题
（1）证明不存在．
（2）求函数的偏导数．
（3）设，求及．
（4），求．
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