《高等数学》教案 第33课 二阶常系数齐次线性微分方程.docxVIP

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课题

二阶常系数齐次线性微分方程

课时

2课时（90min）

教学目标

知识技能目标：

（1）理解二阶线性方程解的结构，掌握齐次线性方程的通解

（2）掌握二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及对应于特征根的三种情况，通解的三种不同形式。

素质目标：

（1）让学生明白建立简单应用问题中的微分方程，体会联系的多样化

（2）培养学生主动交流的合作精神，培养学生善于探索的思维品质

教学重难点

教学重点：二阶线性方程解的结构，二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法

教学难点：二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法

教学方法

讲解法、问答法、讨论法

教学用具

电脑、投影仪、多媒体课件、教材

教学过程

主要教学内容及步骤

课前任务

【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，回顾高中学习的函数概念

【学生】完成课前任务

考勤

【教师】使用APP进行签到

【学生】按照老师要求签到

案例导入

【教师】提出问题：

火车沿水平直线轨道运动，设火车质量为，机动牵引力为，阻力为，其中均为常数，为火车的速度．若已知火车的初速度与初位移均为零，求火车的运动方程．

试问：你能写出运动方程吗？

【学生】聆听、思考、讨论、回答

【教师】公布正确答案，并引入二阶常系数齐次线性微分方程

传授新知

【教师】引入新的知识点，讲解二阶常系数齐次线性微分方程的相关知识

二阶常系数线性微分方程在工程技术中用的很多，特别是在电学、力学中遇到的机会更多．下面看一个实际问题．

【教师】通过引例，提出二阶常系数线性齐次微分方程的定义

引例质量为1克的质点，受力的作用沿直线离开中心点，已知作用力与质点到中心点的距离成正比（比例系数为4）；外界阻力与运动速度成正比（比例系数为3）．运动开始时，质点距中心点1厘米，速度为0．求质点的运动规律．

分析设s表示路程，t表示时间，则为速度，为加速度．根据题意：

作用力4s，外界阻力，

因此

质点所受的合外力，

由牛顿第二定律，得

，

即．

这个微分方程是二阶的，系数都是常数，且的幂次都是一次的．像这种类型的微分方程，就是我们本节将要学习的二阶常系数线性齐次微分方程．一般地，形如

的方程称为二阶常系数线性齐次微分方程，其中都是常数．

【教师】讲解二阶常系数线性齐次微分方程的解法

下面讨论二阶常系数线性齐次微分方程的解法．首先容易验证方程的解有如下结论：

若y1，y2是方程的两个特解，则

（1）y1，y2的线性组合也是方程的解，其中是任意常数；

（2）若常数，则是方程的通解．

上述结论称为解的结构定理．

由以上结论可知，求方程的通解，关键在于求出方程不成比例的两个特解y1，y2．根据方程的特点，可以看出必须是同类型函数，才能使等式右端等于零，而函数求导后是同类型函数的只有指数函数，于是我们猜想函数（r为待定常数）可能是方程的解．为此，求出，并代入方程，得

．

而，因此r应满足

．

即当r是代数方程的根时，就是齐次方程的解．因此，我们称方程是方程的特征方程，特征方程的根称为特征根．

由于，特征方程的特征根有三种情况，根据二阶常系数线性齐次微分方程解的结构，可以得到三种情况下方程的通解（见下表）．

特征方程

通解形式

两个相异实根

两个相等实根

一对共轭复根

由以上讨论可知，求二阶常系数线性齐次微分方程的通解步骤如下：

（1）写出对应的特征方程；

（2）求出特征根；

（3）根据的三种不同情况，写出方程的通解．

【教师】通过例题，帮助学生掌握二阶常系数线性齐次微分方程的应用

例1求下列微分方程的通解：

（1）； （2）；

（3）．

解（1）对应的特征方程为，

特征根为，

所以通解为．

解（2）对应的特征方程为，

特征根为，

所以通解为，

解（3）对应的特征方程为，

特征根为，

所以通解为．

例2求引例1中的问题．

解在引例1中建立的微分方程为

初始条件为．

对应的特征方程为，

特征根为，

所以通解为．

于是．

把初始条件代入上面两式，得

解得．因此，质点的运动规律是

．

图6-3例3【电容器放电问题】设有一个由电阻、自感H、电容F组成的串联电路，如图6-3所示，当开关闭合后，电容器开始放电，如果电容器上原有电量为0.01C，试分析电容器的放电规律．

图6-3

解设任意时刻电容器上的电量为，则电流．由闭合回路上