《高等数学》教案 第39课 曲面与空间曲线.docxVIP

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课题

曲面与空间曲线

课时

2课时（90min）

教学目标

知识技能目标：

（1）掌握常用的曲面方程

（2）通过曲面方程能知道其所表示曲面的形状

素质目标：

（1）培养学生联系的、辩证统一的思想

（2）培养学生主动交流的合作精神，使学生学会认识事物的特殊性和一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质

教学重难点

教学重点：球面的方程、旋转曲面的方程

教学难点：旋转曲面、截痕法

教学方法

讲解法、问答法、讨论法

教学用具

电脑、投影仪、多媒体课件、教材

教学过程

主要教学内容及步骤

课前任务

【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，预习本节课内容

【学生】完成课前任务

考勤

【教师】使用APP进行签到

【学生】按照老师要求签到

问题导入

【教师】提出问题：

常见的曲面方程有哪些？

【学生】聆听、思考、讨论、回答

传授新知

【教师】通过大家的发言和讲解，引入新的知识点，讲解曲面与空间曲线的相关知识

一、曲面及其方程

【教师】提出曲面和曲面方程的概念

与平面解析几何中把曲线看做是动点的轨迹类似，在空间解析几何中把曲面也看成是具有某种几何性质的点的轨迹．如果一个曲面和一个三元方程，满足下面两个条件：

（1）曲面上任一点的坐标都满足方程；

（2）不在曲面上的点的坐标都不满足方程，那么方程称为曲面的方程，曲面称为方程的图形．

【教师】通过例题，帮助学生理解曲面方程

例1设一球面的半径为R，球心在点求此球面的方程．

解设是球面上任意一点，则

，

即

，

于是

．

特殊地，当球心在坐标原点时，球面的方程为．

二、柱面

【教师】提出柱面方程的相关概念

直线L沿定曲线C（不与直线L在同一平面内）平行移动形成的轨迹叫做柱面，定曲线C叫做准线，动直线L叫做母线．

我们只讨论母线平行于坐标轴的柱面方程．

设准线C是xOy平面上的一条曲线，其方程为

．

以平行于z轴的直线L沿曲线C平行移动，就得到一个柱面，如图7-9所示．

在柱面上任取一点，过M作一条平行于z轴的直线，则该直线与xOy平面的交点为．由于在准线C上，故有

．

这就是母线平行于z轴的柱面方程．

由此可见，母线平行于z轴的柱面方程的特征是只含x，y，不含z．

同理，方程及都表示柱面，它们的母线分别平行于x轴及y轴．

例如，方程

，

表示母线平行于z轴的柱面，准线是xOy平面上一个以原点为中心，半径为R的圆，如图7-10所示．这柱面叫做圆柱面．

图7-10

又如，方程的图形是母线平行于z轴的的椭圆柱面．

三、二次曲面

【教师】提出二次曲面概念及图形

下面介绍一些常见的三元二次方程及图形——二次曲面．

椭球面的方程为

．（7-17）

用平面去截椭球面所得交线为

即

（1）当时，交线是在平面上的椭球，即

且越大椭圆越小，越小椭圆越大．

（2）当时，交线缩成一点．

（3）当时，没有截线．

同理，若用平面或去截曲面也有类似的结果．

综合上述讨论，可以得到椭球面的形状，如图7-11所示．

图7-11

当时，式（7-17）就是球心在原点，半径为R球面方程．

关于其他一些特殊的二次曲面的方程及图形如表7-1所示．

表7-1

名称

方程

图形

二次锥面

（时是圆锥面时是椭圆锥面）

椭圆抛物面

双曲面

单叶双曲面

双叶双曲面

四、空间曲线

【教师】提出空间曲线方程的相关概念

空间中任意一条曲线可以看成是两个曲面的交线，因此空间曲线可用两个曲面方程联立起来表示，即

（7-18）

式（7-18）叫做空间曲线的一般方程．一般方程表示空间曲线的方式是不唯一的．例如，

都表示xOy平面上以原点为圆心的单位圆．

类似于空间直线，空间曲线也可用参数方程

（7-19）

表示，式（7-19）叫做空间曲线的参数方程，变量t叫做参数．

【教师】通过例题，帮助学生掌握空间曲线方程的应用

例2【螺旋曲线的参数方程】如图7-12所示，空间一动点在圆柱面上以角速度绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z轴的方向上升，求此动点的轨迹方程（此轨迹称为螺旋线）．

图7-12

解以时间t作为参数来建立螺旋线的方程，并设点M开始运动的位置是．则在时刻t，点沿z轴的运动规律是，而转动的角度，故点M的运动轨迹方程为

这就是螺旋线的方程．

【学生】聆听、思考、理解、记忆

强化练习

【教师】对学生进行分组，每组选出一名组长，然后组织学生以小组为单位，完成以下习题

1．一动点与两定点（2，1，0）和（1，0，?1）等距离，求此动点的轨迹．

2．指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几