专题62 二次函数与圆综合性问题.pdfVIP

例题精讲

【例1】．如图，抛物线的顶点为A（0，2），且经过点B（2，0）．以坐标原点O为圆心的圆的半径r＝，

OC⊥AB于点C．

（1）求抛物线的函数解析式．

（2）求证：直线AB与⊙O相切．

（3）已知P为抛物线上一动点，线段PO交⊙O于点M．当以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四

边形时，求PM的长．

变式训练

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【变1-1】．如图，抛物线y＝ax+bx+2与直线AB相交于A（﹣1，0），B（3，2），与x轴交于另一点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在y上是否存在一点E，使四边形ABCE为矩形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明

理由；

（3）以C为圆心，1为半径作⊙O，D为⊙O上一动点，求DA+DB的最小值

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【例2】．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛

物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．

（1）求抛物线的表达式；

（2）判断△BCE的形状，并说明理由；

（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+EP的值最小，若存

在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

变式训练

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【变2-1】．在平面直角坐标系中，二次函数y＝x+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，

交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）如图甲，当△ACP是以AC为直角边的直角三角形时，求点P的坐标；

（3）如图乙，过A，B，P三点作⊙M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D．交OM于点E．点P在运动过

程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长．

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2

1．如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝x﹣1上运动，当⊙P与坐标轴相切时，圆心P的坐

标可以是．

2．如图1，抛物线与x轴交于O、A两点，点B为抛物线的顶点，连接OB．

（1）求∠AOB的度数；

（2）如图2，以点A为圆心，4为半径作⊙A，点M在⊙A上．连接OM、BM，

①当△OBM是以OB为底的等腰三角形时，求点M的坐标；

②如图3，取OM的中点N，连接BN，当点M在⊙A上运动时，求线段BN长度的取值范围．

4

2

3．如图，抛物线y＝ax﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，

且OB＝OC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，

连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；

（3）如图2，若第四象限有一动点E，满足BE＝OB，过E作EF⊥x轴于点F，设F坐标为（t，0），0

＜t＜3，△BEF的内心为I，连接CI，直接写出CI的最小值．

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4．已知抛物线y＝x﹣（2m﹣1）x+4m﹣6．

（1）试说明对于每一个实数m，抛物线都经过x轴上的一个定点；

（2）设抛物线与x轴的两个交点A（x，0）和B（x，0）（x＜x）分别在原点的两侧，且A、B两点间

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的距离小于6，求m的取值范围；

（3）抛物线的对称轴与x轴交于点C，在（2）的条件下，试判断是否存在m的值，使经

过点C及抛物线与x轴的一个交点的⊙M与y轴的正半轴相切于点D，且被x轴截得的劣弧与是等弧？

若存在，求出所有满足条件的m的值；若不存在，