专题53 一次函数背景下的搭桥模型（老师版）.pdfVIP

模型介绍

方法点拨

二、求线段之和的最小值

已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求

P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小.(原理用平移知识解)

（1）点A、B在直线m两侧：

过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q

即为所求的点.

（2）点A、B在直线m同侧：

过A点作AE∥m,且AE长等于PQ长，作B关于m的对称点B’,连接B’E,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，

即为P点，此时P、Q即为所求的点.

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例题精讲

【例1】．如图，已知A（3，1），B（1，0），PQ是直线y＝x上的一条动线段且PQ＝（Q在P的下方），

当AP+PQ+QB取最小值时，点Q坐标为（，）．

解：作点B关于直线y＝x的对称点B（0，1），过点A作直线MN，并沿MN向下平移单位后得A

（2，0）

连接AB交直线y＝x于点Q

如图

理由如下：∵AA＝PQ＝，AA∥PQ，

∴四边形APQA是平行四边形．

∴AP＝AQ．

∵AP+PQ+QB＝BQ+AQ+PQ且PQ＝．

∴当AQ+BQ值最小时，AP+PQ+QB值最小．

根据两点之间线段最短，即A，Q，B三点共线时AQ+BQ值最小．

∵B（0，1），A（2，0），

∴直线AB的解析式y＝﹣x+1．

∴x＝﹣x+1．即x＝，

2

∴Q点坐标（，）．

故答案是：（，）．

变式训练

【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，C，E的坐标分别为（0，4），（8，0），（8，2），

点P，Q是OC边上的两个动点，且PQ＝2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标为（）

A．（2，0）B．（3，0）C．（4，0）D．（5，0）

解：如图，将点E（8，2）往左平移2个单位得到F（6，2），则EF＝2＝PQ，EF∥PQ，

∴四边形EFPQ是平行四边形，

∴FP＝QE，

作点F关于x轴的对称点F，连接PF，

则PF＝PF，F（6，﹣2），

∴当点A、P、F在同一直线上上时，AP+PF最小，

即AP+EQ最小，

∵A（0，4），F（6，﹣2），

∴直线AF解析式：y＝﹣x+4，

∴P（4，0），

故选：C．

【变1-2】．A、B两村之间隔一条河，现在要在河上架一座桥．

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（1）要使这两村A、B之间的行程最短，桥应修在何处？请帮他们设计出来．

（2）若两村A、B到河边的距离分别为50米和20米，河宽为30米，AC＝40米，你能求出两村的最短

路程吗？若能，请求出来．

解：（1）桥应该建在如图所示MN处，四边形AMKN是平行四边形．

（2）作MH⊥BC垂足为H．

两村A、B之间的最短路程＝AN+KN+BK，

∵四边形AMKN是平行四边形，

∴AN＝MK，

在RT△BMH中，∵BH＝70，MH＝40，

∴BM＝＝10，

∴AN+KN+BK＝BM+KN＝10+30，

∴两村的最短路程为（10+30）米．

【例2】．如图，平面直角坐标系中，直线y＝x+8分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，

点D在第二象限，且四边形AOCD为矩形．动点P为CD上一点，PH⊥OA，垂足为H，点Q是点B关

于点A的对称点，当BP+PH+HQ值最小时，点P的坐标为（﹣4，4）．

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解：BP+PH+HQ有最小值，

理由是：∵直线y＝x+8分别交x轴，y轴于A，B两点，点C为OB的中点，

∴OB＝8，OA＝6，OC＝4，

连接PB，CH，HQ，则四边形PHCB是平行四边形，如图，

∵四边形PHCB是平行四边形，

∴PB＝CH，

∴BP+PH+HQ＝CH+HQ+4，

∵BP+PH+HQ有最小值，即CH+HQ+4有最小值，

∴