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例题精讲
【例1】．定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形，如图，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，AD
＝2，CD＝5，∠ABC＝60°，则线段BD＝3．
解：∵对余四边形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝30°，
∵AB＝BC，
∴将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAF，连接FD，如图所示，
∴△BCD≌△BAF，∠FBD＝60°
∴BF＝BD，AF＝CD，∠BDC＝∠BFA，
∴△BFD是等边三角形，
∴BF＝BD＝DF，
∵∠ADC＝30°，
∴∠ADB+∠BDC＝30°，
∴∠BFA+∠ADB＝30°，
∵∠FBD+∠BFA+∠ADB+∠AFD+∠ADF＝180°，
∴60°+30°+∠AFD+∠ADF＝180°，
∴∠AFD+∠ADF＝90°，
∴∠FAD＝90°，
222
∴AD+AF＝DF，
1
222
∴AD+CD＝BD，
222
∴BD＝（2）+5＝45，
∵BD＞0，
∴BD＝3，
故答案为：3．
变式训练
【变1-1】．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损
矩形的直径，即损矩形外接圆的直径．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，
点D是菱形ACEF对角线的交点，连接BD．若∠DBC＝60°，∠ACB＝15°，BD＝2，则菱形ACEF
的面积为12．
解：如图1，取AC的中点G，连接BG、DG，，
∵四边形ACEF是菱形，
∴AE⊥CF，
2
∴∠ADC＝90°，
又∵∠ABC＝90°，
∴A、B、C、D四点共圆，点G是圆心，
∴∠ACD＝∠ABD＝90°﹣∠DBC＝90°﹣60°＝30°，
∵∠AGB＝15°×2＝30°，∠AGD＝30°×2＝60°，
∴∠BGD＝30°+60°＝90°，
∴△BGD是等腰直角三角形，
∴BG＝DG＝，
∴AC＝2，
∴AD＝2，
∴，
∴菱形ACEF的面积为：
3
＝
＝
故答案为：12．
【变1-2】．定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如：四边形ABCD中，若∠A+∠C＝180°
或∠B+∠D＝180°，则四边形ABCD是“对补四边形”．
【概念理解】（1）如图1，四边形ABCD是“对补四边形”．
①若∠A：∠B：∠C＝3：2：1，则∠D＝90度．
22
②若∠B＝90°．且AB＝3，AD＝2时．则CD﹣CB＝5．
【类比应用】（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝CB，BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD是“对
补四边形”．
3
（1）解：①∵∠A：∠B：∠C＝3：2：1，
∴设∠A＝3x°，则∠B＝2x°，∠C＝x°，
∵四边形ABCD是“对补四边形”，
∴∠A+∠C＝180°，
∴3x+x＝180，
∴x＝45°．
∴∠B＝2x＝90°．
∵四边形ABCD是“对补四边形”，
∴∠B+∠D＝180°，
∴∠D＝90°．
故答案为：90；
②连接AC，如图，
∵∠B＝90°，
222
∴AB+BC＝AC．
∵四边形ABCD是“对补四边形”，
∴∠B+∠D＝180°．
∴∠D＝90°．
222
∴AD+CD＝AC．
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