专题51 一次函数的平行、垂直、面积问题（老师版）.pdfVIP

模型介绍

方法点拨

知识点1两直线平行

如图，直线b∥a，那么k=k，若已知k及C的坐标即可求出直线b的解析式.

baa

知识点2两直线垂直

如图，直线c⊥a，那么k*k=-1，若已知k及C或B的坐标即可求出直线c的caa

解析式.（针对这一性质，初中不要求掌握，一般用全等、相似的方法求解）

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例题精讲

考点一：一次函数平行问题

【例1】．一次函数y＝kx+b与y＝3x+1平行，且经过点（﹣3，4），则这个函数的表达式为y＝3x+13．

解：∵一次函数y＝kx+b与y＝3x+1平行，

∴k＝3，

把（﹣3，4）代入y＝3x+b得﹣9+b＝4，解得b＝13，

∴所求一次函数解析式为y＝3x+13．

故答案为y＝3x+13．

变式训练

【变1-1】．一条直线平行于直线y＝2x﹣1，且与两坐标轴围成的三角形面积是4，则直线的解析式是（）

A．y＝2x+4B．y＝2x﹣4C．y＝2x±4D．y＝x+2

解：∵所求直线与直线y＝2x﹣1平行

∴可设所求直线的解析式为y＝2x+b

令x＝0可得直线在y轴的截距为b

令y＝0可得直线在x轴的截距为

由题意可知：b××＝4

∴b＝±4，

故选：C．

【变1-2】．一个一次函数图象与直线y＝x+平行，与x轴、y轴的交点分别为A、B，并且过点（﹣1，

﹣20），则在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有4个．

解：因为一次函数的图象与直线y＝x+平行，

所以所求直线的斜率为，

又因为所求直线过点（﹣1，﹣20），

所以所求直线为5x﹣4y﹣75＝0，

所以此直线与x轴、y轴的交点分别为A（15，0）、B（0，﹣），

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设在直线AB上并且横、纵坐标都是整数的点的横坐标是x＝﹣1+4N，纵坐标是y＝﹣20+5N，（N是整数）．

因为在线段AB上这样的点应满足0≤x＝﹣1+4N≤15，且﹣＜y＝﹣20+5N≤0，

解得：≤N≤4，

所以N＝1，2，3，4，

故答案为：4．

考点二：一次函数垂直问题

【例2】．已知直线y＝kx+b经过点A（3，8），并与直线y＝2x﹣3垂直，则k＝﹣；b＝．

解：∵已知直线y＝kx+b与直线y＝2x﹣3垂直，

则k＝﹣，

∴y＝x+b，

将A（3，8）代入，

8＝+b，

解得b＝，

故答案为﹣，．

变式训练

【变2-1】．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，直线CD与y轴

交于点C（0，﹣8），与直线AB交于点D，若△AOB∽△CDB，则点D的坐标为（，）．

解：∵△AOB∽△CDB，

∴∠CDB＝∠AOB＝90°，

设直线CD的解析式为：y＝2x+b，

∵点C的坐标为（0，﹣8），

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∴b＝﹣8，

，

解得，，

则点D的坐标为：（，），

故答案为：（，）．

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【变2-2】．直线y＝kx+b与抛物线y＝x交于A（x，y），B（x，y）两点，当OA⊥OB时，直线AB

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恒过一个定点，该定点坐标为（0，4）．[提示：直线l：y＝kx+b与直线l：y＝kx+b互相垂直，

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则k•k＝﹣1]

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