专题74 圆中的新定义问题（老师版）.pdfVIP

例题精讲

【例1】．如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF…叫做“正三角形的渐开线”，其中弧CD、弧DE、弧EF

的圆心依次按A、B、C…循环，它们依次相连接．若AB＝1，则曲线CDEF的长是4π．

解：∵△ABC是正三角形，

∴∠CAD＝∠DBE＝∠ECF＝120°，

又∵AB＝1，

∴AC＝1，BD＝2，CE＝3，

∴CD弧的长度＝＝；

DE弧的长度＝＝；

EF弧的长度＝＝2π；

所以曲线CDEF的长为++2π＝4π．

故答案为：4π．

变式训练

【变1-1】．对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半

径，则称圆形A被这个圆“覆盖”．例如图中的三角形被一个圆“覆盖”．如果边长为1的正六边形被一

个半径长为R的圆“覆盖”，那么R的取值范围为R≥1．

1

解：∵正六边形的边长等于它的外接圆半径，

∴边长为1的正六边形被一个半径长为R的圆“覆盖”，那么R的取值范围为：R≥1．

故答案为：R≥1．

2

【变1-2】．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和正实数k，给出如下定义：当ka+b＞0时，以

2

点P为圆心，ka+b为半径的圆，称为点P的“k倍雅圆”

例如，在图1中，点P（1，1）的“1倍雅圆”是以点P为圆心，2为半径的圆．

（1）在点P（3，1），P（1，﹣2）中，存在“1倍雅圆”的点是P．该点的“1倍雅圆”的半径

121

为10．

（2）如图2，点M是y轴正半轴上的一个动点，点N在第一象限内，且满足∠MON＝30°，试判断直

线ON与点M的“2倍雅圆”的位置关系，并证明；

（3）如图3，已知点A（0，3），B（﹣1，0），将直线AB绕点A顺时针旋转45°得到直线l．

①当点C在直线l上运动时，若始终存在点C的“k倍雅圆”，求k的取值范围；

②点D是直线AB上一点，点D的“倍雅圆”的半径为R，是否存在以点D为圆心，为半径

的圆与直线l有且只有1个交点，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

22

解：（1）对于P（3，1），圆的半径为ka+b＝1×3+1＝10＞0，故符合题意；

1

22

对于P（1，﹣2），圆的半径为ka+b＝1×1﹣2＝﹣1＜0，故不符合题意；

2

故答案为P，10；

1

2

（2）如图1，过点M作MQ⊥ON于点Q，

则点M（0，m）（m＞0），则圆的半径r＝2×0+m＝m，

则Rt△MQO中，∠MOQ＝∠MON＝30°，

∴MQ＝OM＝m＜m，

∴直线ON与点M的“2倍雅圆”的位置关系为相交；

（3）过点B作BE⊥直线l于点E，过点E作x轴的垂线交x轴于点G，交过点A与x轴的平行线于

①

点F，

设点E（x，y），

将直线AB绕点A顺时针旋转45°得到直线l，则∠EAB＝45°，故EA＝EB，

∵∠FEA+∠FAE＝90°，∠GEB+∠FEA＝90°，

∴∠FAE＝∠GEB，

∵∠AFE＝∠EGB＝90°，EA＝EB，

∴△AFE≌△EGB（AAS），

∴EF＝