专题73 四边形中的新定义问题.pdfVIP

例题精讲

【例1】．定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形，如图，在对余四边形ABCD中，AB＝BC，AD

＝2，CD＝5，∠ABC＝60°，则线段BD＝．

变式训练

【变1-1】．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损

矩形的直径，即损矩形外接圆的直径．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向形外作菱形ACEF，

点D是菱形ACEF对角线的交点，连接BD．若∠DBC＝60°，∠ACB＝15°，BD＝2，则菱形ACEF

的面积为．

【变1-2】．定义：有一组对角互补的四边形叫做“对补四边形”，例如：四边形ABCD中，若∠A+∠C＝180°

1

或∠B+∠D＝180°，则四边形ABCD是“对补四边形”．

【概念理解】（1）如图1，四边形ABCD是“对补四边形”．

①若∠A：∠B：∠C＝3：2：1，则∠D＝度．

22

②若∠B＝90°．且AB＝3，AD＝2时．则CD﹣CB＝．

【类比应用】（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝CB，BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD是“对

补四边形”．

【例2】．定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB

＝2，BC＝1，将△ABC沿∠ABC的平分线BB的方向平移，得到ABC，连接AC，CC，若四边形ABCC

是等邻边四边形，则平移距离BB的长度是．

变式训练

2

【变2-1】．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3．我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正

方形是三角形的内接正方形”．

（1）如图1，四边形CDEF是△ABC的内接正方形，则正方形CDEF的边长a等于；

1

（2）如图2，四边形DGHI是（1）中△EDA的内接正方形，那么第2个正方形DGHI的边长记为a；

2

继续在图2中的△HGA中按上述方法作第3个内接正方形，依此类推，……则第n个内接正方形的边长

a＝．（n为正整数）

n

3

【变2-2】．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称

为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．

根据以上定义，解决下列问题：

（1）如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将△BCE绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的

对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF（填“是”或“不是”）“直等补”四边形；

（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB，过点B作BE

⊥AD于E．

①过C作CF⊥BF于点F，试证明：BE＝DE，并求BE的长；

②若M是AD边上的动点，求△BCM周长的最小值．

4

1．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知

2

AE＝c，这时我们把关于x的形如ax+cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．

请解决下列问题：

（1）判断下列方程是否是“勾系一元二次方程”：

2x+1＝0（填“是”或“不是”）；

①2x+

2

②3x+5x+4＝0（填“是”或“不是”）