专题74 圆中的新定义问题.pdfVIP

例题精讲

【例1】．如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF…叫做“正三角形的渐开线”，其中弧CD、弧DE、弧EF

的圆心依次按A、B、C…循环，它们依次相连接．若AB＝1，则曲线CDEF的长是．

变式训练

【变1-1】．对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半

径，则称圆形A被这个圆“覆盖”．例如图中的三角形被一个圆“覆盖”．如果边长为1的正六边形被一

个半径长为R的圆“覆盖”，那么R的取值范围为．

1

2

【变1-2】．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b）和正实数k，给出如下定义：当ka+b＞0时，以

2

点P为圆心，ka+b为半径的圆，称为点P的“k倍雅圆”

例如，在图1中，点P（1，1）的“1倍雅圆”是以点P为圆心，2为半径的圆．

（1）在点P（3，1），P（1，﹣2）中，存在“1倍雅圆”的点是．该点的“1倍雅圆”的半径为．

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（2）如图2，点M是y轴正半轴上的一个动点，点N在第一象限内，且满足∠MON＝30°，试判断直

线ON与点M的“2倍雅圆”的位置关系，并证明；

（3）如图3，已知点A（0，3），B（﹣1，0），将直线AB绕点A顺时针旋转45°得到直线l．

①当点C在直线l上运动时，若始终存在点C的“k倍雅圆”，求k的取值范围；

②点D是直线AB上一点，点D的“倍雅圆”的半径为R，是否存在以点D为圆心，为半径

的圆与直线l有且只有1个交点，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

2

【例2】．我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一

个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，点A，B，C，D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，

已知点D的坐标为（0，﹣3），AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为2．开动

脑筋想一想，经过点D的“蛋圆”切线的解析式为___________

变式训练

【变2-1】．已知定点P（a，b），且动点Q（x，y）到点P的距离等于定长r，根据平面内两点间距离公式

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可得（x﹣a）+（y﹣b）＝r，这就是到定点P的距离等于定长r圆的方程．已知一次函数的y＝﹣2x+10

的图象交y轴于点A，交x轴于点B，C是线段AB上的一个动点，则当以OC为半径的⊙C的面积最小

时，⊙C的方程为．

3

【变2-2】．

【定义】从一个已知图形的外一点引两条射线分别经过该已知图形的两点，则这两条射线所成的最大角称

为该点对已知图形的视角，如图①，∠APB是点P对线段AB的视角．

【应用】

（1）如图②，在直角坐标系中，已知点A（2，），B（2，2），C（3，），则原点O对三角形

ABC的视角为；

（2）如图，在直角坐标系中，以原点O，半径为2画圆O，以原点O，半径为4画圆O，证明：圆

③12

O上任意一点P对圆O的视角是定值；

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【拓展应用】

（3）很多摄影爱好者喜欢在天桥上对城市的标志性建筑拍照，如图④．现在有一条笔直的天桥，标志

性建筑外延呈正方形，摄影师想在天桥上找到对建筑视角为45°的位置拍摄．现以建筑的中心为原点建

立如图的坐标系，此时天桥所在的直线的表达式为x＝﹣5，正方形建筑的边长为4，请直接写出直线

⑤

上满足条件的位置坐标．

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1．如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线