专题54 一次函数中的45°角问题(老师版).pdfVIP

专题54 一次函数中的45°角问题(老师版).pdf

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例题精讲

【例1】.如图,在平面直角坐标系中,点A(12,0),点B(0,4),点P是直线y=﹣x﹣1上一点,且∠

ABP=45°,则点P的坐标为(5,﹣6).

解:如图所示,

将线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BC,则点C的坐标为(﹣4,﹣8),

由于旋转可知,△ABC为等腰直角三角形,令线段AC和线段BP交于点M,则M为线段AC的中点,

所以点M的坐标为(4,﹣4),又B为(0,4),设直线BP为y=kx+b,将点B和点M代入可得,

解得k=﹣2,b=4,可得直线BP为y=﹣2x+4,由于点P为直线BP和直线y=﹣x﹣1的交点,

则由解得,所以点P的坐标为(5,﹣6),

1

故答案为(5,﹣6).

变式训练

【变1-1】.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B将直线

AB绕点B顺时针旋转45°,交x轴于点C,则直线BC的函数表达式为y=3x+4.

解:∵一次函数y=﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B,

∴令x=0,得y=4,令y=0,则x=2,

∴A(2,0),B(0,4),

∴OA=2,OB=4,

过A作AF⊥AB交BC于F,过F作FE⊥x轴于E,

∵∠ABC=45°,

∴△ABF是等腰直角三角形,

∴AB=AF,

∵∠OAB+∠ABO=∠OAB+∠EAF=90°,

∴∠ABO=∠EAF,

在△ABO和△FAE中

∴△ABO≌△FAE(AAS),

∴AE=OB=4,EF=OA=2,

∴F(﹣2,﹣2),

设直线BC的函数表达式为:y=kx+4,

把F的坐标代入得,﹣2=﹣2k+4,

解得k=3,

∴直线BC的函数表达式为:y=3x+4,

2

故答案为:y=3x+4.

【变1-2】.如图,已知点A:(2,﹣5)在直线l:y=2x+b上,l和l:y=kx﹣1的图象交于点B,且点B

112

的横坐标为8,将直线l绕点A逆时针旋转45°与直线l,相交于点Q,则点Q的坐标为(,﹣).

12

解:过Q作QE⊥AQ交AB于E,过Q作FG∥y轴,过A作AF⊥FG于F,过E作EG⊥FG于G,

将点A的坐标代入y=2x+b中,得﹣5=2×2+b,

解得:b=﹣9,

∴直线l的解析式为y=2x﹣9,

1

将x=8代入y=2x﹣9中,

解得:y=7,

∴点B的坐标为(8,7),

将点B的坐标代入y=kx﹣1中,得

7=8k﹣1,

解得:k=1,

∴直线l的解析式为y=x﹣1,

2

∵∠G=∠F=∠EQA=90°,

3

∴∠EQG+∠AQF=90°,∠QAF+∠AQF=90°,

∴∠EQG=∠QAF,

∵∠EQA=90°,∠QAE=45°,

∴△AQE是等腰直角三角形,

∴EQ=QA,

在△EGQ和△QFA中,

∴△EGQ≌△QFA(AAS),

∴EG=QF,QG=AF,

设Q(a,a﹣1),

∵A(2,﹣5),

∴AF=2﹣a,FQ=a+4,GE=a+4,QG=2﹣a,

∴点E坐标(2a+4,1),

把E(2a+4,1)代入y=2x﹣9中,

得4a+8﹣9=1,解得:a=,

∴点Q的坐标为(,﹣).

故答案为:(,﹣).

【例2】.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=2x+4的图象分别与x轴,y轴相交于A,B两点.将直

线AB绕点A逆时针旋转45°后,与y轴交于点C,则点C的坐标为(0,﹣6).

4

解:一次函数y=2x+4的图象分别与x轴,y轴相交

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