专题72 三角形中的新定义问题.pdfVIP

例题精讲

【例1】．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，

因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．定义：等

腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，

这时sadA＝＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的

正对定义，解下列问题：

（1）sad60°＝；

（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是；

（3）如图，已知cosA＝，其中∠A为锐角，试求sadA的值．

变式训练

【变1-1】．定义：如果三角形的一个内角是另一个内角的2倍，那么称这个三角形为“倍角三角形”．若△

ABC是“倍角三角形”，∠A＝90°，BC＝4，则△ABC的面积为．

【变1-2】．定义：如果三角形的两个内角α与β满足α+2β＝100°，那么我们称这样的三角形为“奇妙三角

1

形”．

（1）如图1，△ABC中，∠ACB＝80°，BD平分∠ABC．

求证：△ABD为“奇妙三角形”

（2）若△ABC为“奇妙三角形”，且∠C＝80°．求证：△ABC是直角三角形；

（3）如图2，△ABC中，BD平分∠ABC，若△ABD为“奇妙三角形”，且∠A＝40°，直接写出∠C的

度数．

【例2】．定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”．

【理解概念】

（1）顶角为120°的等腰三角形“准等边三角形”．（填“是”或“不是”）

【巩固新知】

（2）已知△ABC是“准等边三角形”，其中∠A＝35°，∠C＞90°．求∠B的度数．

【解决问题】

（3）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，，点D在AC边上，若△BCD是“准

等边三角形”，求BD的长．

变式训练

2

【变2-1】．新定义：我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”如图所示，△ABC中AF、BE

是中线，且AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形称为“中垂三角形”，如果∠ABE＝30°，AB＝

6，那么此时AC的长为．

【变2-2】．【了解概念】

定义：如果一个三角形一边上的中线等于这个三角形其中一边的一半，则称这个三角形为半线三角形，

这条中线叫这条边的半线．

【理解运用】

（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，试判断△ABC是否为半线三角形，并说明理由；

【拓展提升】

（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，M为△ABC外一点，连接MB，MC，若△ABC

和△MBC均为半线三角形，且AD和MD分别为这两个三角形BC边的半线，求∠AMC的度数；

（3）在（2）的条件下，若MD＝，AM＝1，直接写出BM的长．

3

1．当三角形中一个内角β是另外一个内角α的时，我们称此三角形为“友好三角形”，α为友好角．如果一

个“友好三角形”中有一个内角为42°，那么这个“友好三角形”的“友好角α”的度数为．

2．当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“奇妙三角形”，其中α称为“奇妙角”．如

果一个“奇妙三角形”的一个内角为60°，那么这个“奇妙三角形”的另两个内角的度数为．

3．新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．根据准外心的定义，探究如下问

题：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，如果准外心P在BC边上，那么PC的长

为．

4．定义：锐角三角形三条高的垂足形成的三角形称为垂足三角形．在锐角三角形ABC的每条边上各取一点

D，E，F，△DEF称为△ABC的内接三角形．垂足三角形的性质：在锐角三角形ABC的所有内接三角

形中，周长最短的三角形是它的垂足三角形．已知，在△ABC中，点D，E，F分