专题57 二次函数中的线段最值问题.pdfVIP

例题精讲

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【例1】．如图，已知抛物线y＝﹣x+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连

接BC，点P是线段BC上方抛物线上一点，过点P作PM⊥BC于点M，求线段PM的最大值．

变式训练

【变1-1】．如图，抛物线y＝2

x+bx+c经过点B（3，0）、C（0，﹣2），直线L：y＝﹣x﹣交y轴于点

E，且与抛物线交于A、D两点，P为抛物线上一动点（不与A、D重合）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P在直线L下方时，过点P作PN∥y轴交L于点N，求PN的最大值．

（3）当点P在直线L下方时，过点P作PM∥x轴交L于点M，求PM的最大值．

【变1-2】．如图，抛物线y＝+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴

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于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）线段BC上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值．

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【例2】．已知：如图，抛物线y＝x+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝3，顶点为

D．

（1）求此函数的关系式；

（2）在对称轴上找一点P，使△BCP的周长最小，求出P点坐标；

（3）在AC下方的抛物线上有一点N，过点N作直线l∥y轴，交AC与点M，当点N坐标为多少时，线

段MN的长度最大？最大是多少？

变式训练

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【变2-1】．如图1，在平面直角坐标系中，已知B点坐标为（1，0），且OA＝OC＝3OB，抛物线y＝ax+bx+c

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（a≠0）图象经过A，B，C三点，其中D点是该抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）判断△ADC的形状并且求△ADC的面积；

（3）如图2，点P是该抛物线第三象限部分上的一个动点，过P点作PE⊥AC于E点，当PE的值最大

时，求此时P点的坐标及PE的最大值．

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【变2-2】．如图，二次函数y＝ax+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐

标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．

（1）求二次函数的解析式；

（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，

求线段PM长度的最大值；

（3）在抛物线上是否存在点Q，且点Q在第一象限，使△BDQ中BD边上的高为？若存在，直接写

出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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1．已知抛物线的顶点A（﹣1，4），且经过点B（﹣2，3），与x轴分别交于C，D两点．

（1）求直线OB和该抛物线的解析式；

（2）如图1，点M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的上方，过点M作x轴的平行线与直线OB交

于点N，求MN的最大值；

（3）如图2，AE∥x轴交x轴于点E，点P是抛物线上A、D之间的一个动点，直线PC、PD与AE分

别交于F、G，当点P运动时，求tan∠PCD+tan∠PDC的值．

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2．如图，抛物线y＝x+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大

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值；

（3）在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是等腰

三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

3．已知，如图，抛物线与x轴交点坐标为A（1，0），C（﹣3，0），

（1）如图1，已知顶点坐标D为（﹣1，4）或B点（0，3），选择适当方法求抛物线的解析式；

（2）如图2，在抛物线的