专题61 二次函数背景下的相似三角形问题（老师版）.pdfVIP

模型介绍

在坐标系中确定点，使得由该点及其他点构成的三角形与其他三角形相似，即为“相似三角形存在性问题”．

【相似判定】

判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形；

判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形；

判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形．

以上也是坐标系中相似三角形存在性问题的方法来源，根据题目给的已知条件选择恰当的判定方法，解决

问题．

【题型分析】

通常相似的两三角形有一个是已知的，而另一三角形中有1或2个动点，即可分为“单动点”类、“双动点”

两类问题．

【思路总结】

根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判定2、3可

以发现，都有角相等！

所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角．

然后再找：

思路1：两相等角的两边对应成比例；

思路2：还存在另一组角相等．

事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示，因此选择方法可优先考虑思路1．

一、如何得到相等角？

二、如何构造两边成比例或者得到第二组角？

搞定这两个问题就可以了．

1

例题精讲

2

【例1】．如图，抛物线y＝﹣x+x+2交x轴于点A，B，交y轴于点C，点M是第一象限内抛物线上

一点，过点M作MN⊥x轴于点N．若△MON与△BOC相似，求点M的横坐标．

2

解：∵抛物线y＝﹣x+x+2交x轴于点A，B，交y轴于点C，

2

∴当y＝0时，0＝﹣x+x+2，

解得x＝﹣1，x＝4，

12

∴OB＝4，

当x＝0时，y＝2，

∴OC＝2，

∵点M是第一象限内抛物线上一点，

2

∴设M（m，﹣m+m+2），

∵MN⊥x轴，

∴ON＝m，MN＝﹣2

m+m+2，∠ONM＝90°，

∵∠BOC＝90°，

∴∠BOC＝∠ONM，

∵△MON与△BOC相似，

∴或，

∴＝或＝，

2

∴m＝或m＝﹣1+（负值舍去），

∴点M的横坐标为或﹣1+．

变式训练

【变1-1】．如图，在平面直角坐标系内，已知直线y＝x+4与x轴、y轴分别相交于点A和点C，抛物线y

2

＝x+kx+k﹣1图象过点A和点C，抛物线与x轴的另一交点是B，

（1）求出此抛物线的解析式、对称轴以及B点坐标；

（2）若在y轴负半轴上存在点D，能使得以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似，请求出点D的坐

标．

解：（1）由x＝0得y＝0+4＝4，则点C的坐标为（0，4）；

由y＝0得x+4＝0，解得x＝﹣4，则点A的坐标为（﹣4，0）；

2

把点C（0，4）代入y＝x+kx+k﹣1，得k﹣1＝4，

解得：k＝5，

2

∴此抛物线的解析式为y＝x+5x+4，

∴此抛物线的对称轴为x＝﹣＝﹣．

2

令y＝0得x+5x+4＝0，

解得：x＝﹣1，x＝﹣4，

12

∴点B的坐标为（﹣1，0）．

（2）∵A（﹣4，0），C（0，4），

∴OA＝OC＝4，

3

∴∠OCA＝∠OAC．

∵∠AOC＝90°，OB＝1，OC＝OA＝4，

∴AC＝＝4，AB＝OA﹣OB＝4﹣1＝3．

∵点D在y轴负半轴上，∴∠ADC＜∠AOC，即∠ADC＜90°．

又∵∠ABC＞∠BOC，即∠ABC＞90°，∴∠ABC＞∠ADC．

∴由条件“以A、C、D为顶点的三角形与△ABC相似”可得△CAD∽△ABC，

∴