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高中数学理解型教学及其课例设计 摘要：理解是数学教学的内在品质。数学理解型教学包含三个层面的涵义：理解是数学教学的基本属性，数学学习重在理解；学会数学地理解是数学教学最基本的价值追求；为理解而教有利于数学教学目标的全面实现。本文以初中数学“镶嵌”为例说明了数学理解型教学的基本环节。 关键词：理解性教学；数学地理解；理解型教学； 1．数学理解型教学的涵义 教学具有理解性，理解是数学教学的内在品质。课堂教学中，教师采取各种方法或手段主要是为了帮助学生积极地、正确地理解。创设情境可以建立日常经验与课本知识之间的联系，帮助学生理解数学知识的意义。运用变式可以突出数学概念的本质属性与非本质属性，帮助学生理解概念的内涵。搭建脚手架能够创建符合学生认知发展水平的教学任务，促进学生理解的实现。举例是数学课堂教学中最常用的方法，通过围绕某一主题列举各种典型例题，帮助学生理解有关知识之间的联结，建立比较完善的认知结构。教育技术的动态演示功能使得有时难以用语言描述的数学知识具体、直观、形象，能够促进和加深学生的理解，并且为学生的理解创造各种各样的条件。事实上，教学总是在学生已有的知识经验基础上展开的，数学教学内在地包含理解。 数学理解型教学包含彼此区别又相互联系的三个层面：第一层面，理解性教学（teaching and learning with understanding）。在这里，理解是数学教学的基本属性，数学学习重在理解。数学教学常常囿于“熟能生巧”的悖论，认为数学中的大多数知识和技能都可以通过训练获得。然而，现代认知心理学研究表明，对于一些简单的技能，训练也许可以奏效，但对于较为复杂的技能，特别是高级思维技能，则必须建立在理解的基础上，“特别是概念性理解对那些某一领域的‘专家’的知识和行为是相当重要的”。[1]事实上，数学知识是人类思维高度抽象化的产物，并且采用极其简约的语言或符号来表示，如果不借助于理解，只是记忆事实和操作性程序，就很难把握数学知识的形式化特征所表征的意义，这样，既不可能在新知识与已有认知结构中的相关知识之间建立起“非认为的、实质性的联系”，也不可能将所获得的知识顺畅地迁移到新的情境中。教学具有理解性是数学教学的基本要求，如果说掌握知识是数学教学的重要目的，那么，理解是掌握数学知识的有效手段，数学教学应为学生理解性学习创造条件。 第二层面，数学地理解（learning to mathematically understanding）。学会数学地理解就是学会从数学地角度观察、思考和处理问题。从数学中最简单的数与形，到现代数学中的许多概念、分支，都是数学家在理解世界的过程中抽象或建立起来的。在这里，理解是探索世界的方法，数学知识是理解世界的结果。与掌握一些具体的数学知识相比，学会数学地理解也许是数学教学更为基本的价值追求。课程专家泰勒曾经指出，学习一门学科的价值不是体现在“对将来在该学科从事高深研究的学生提供什么样的基础教学”，而是体现在“对哪些不打算成为该学科领域专家的学生的教育能做出什么贡献、对外行或一般公民有何贡献”上。数学地理解体现了学校数学所能给予学生的最一般的教育价值，也是衡量公民是否具有数学素养的主要尺标。然而，数学地理解在大多数情况下并不能单纯地通过知识传授“自发地”形成，学会数学地理解需要精心地设计。事实上，像数学课程中的问题解决、数学建模、课题学习等专题学习内容对学会数学地理解具有极高的教学价值，是培养学生数学地理解的良好载体，数学教学需要向理解的本质回归。 第三层面，为理解而教（teaching mathematics for understanding）。在这里，理解是数学教学的目标，而且是一个极为重要的目标。其实，理解作为数学教学的目标在课程标准中有明确的表述，如，课程标准中将知识技能目标划分为了解、理解、掌握、灵活运用四个层级，但理解仅是用来作为刻画知识技能目标的一个水平。另外，在传递取向的教学实践中，理解常常为“知识至上”所遮蔽，理解是为掌握知识服务的，其本身作为一个有价值的教学目标并没有得到应有的重视。 为理解而教凸现了理解作为目标在数学教学中的地位和作用。在安德森关于认知目标的二维（知识维和认知过程维）划分中，理解从属于认知过程维度。传递取向的教学偏重于知识维度的教学，以掌握事实性知识、陈述性知识、程序性知识为主要任务。传递取向的教学有时也强调认知过程维度的目标，如知识的应用，但它把掌握知识和应用知识截然分开，看成教学的两个不同阶段。以理解为中心设计教学则有利于实现两个维度目标的统一。知识的获得和应用，是以理解为基础的。因为，通过机械学习所获得的知识，是惰性的、不能灵活迁移的知识。其他教学目标，如记忆、分析、评价和创造等的达成，也