27.10 相似三角形的判定（知识讲解）-九年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）.docxVIP

专题27.10 相似三角形的判定（知识讲解） 【学习目标】 1、了解相似三角形的概念， 掌握相似三角形的表示方法及判定方法； 2、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力. 【要点梳理】 要点一：相似三角形有有关概念 在和中，如果 我们就说与相似，记作 ∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 特别说明：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. 要点二：相似三角形的判定 1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 特别说明：　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.特别说明：　　要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 【典型例题】 类型一、相似三角形概念 1．如图，在中，、是中线，它们相交于点F，，交于点G． （1）找出图中的一对相似三角形，并说明理由； （2）求与的比． 【答案】（1），理由见解析；（2） 【分析】 （1）由，可得出，在结合对顶角相等即可得出． （2）根据中位线定理可得出，再利用相似三角形的性质可得出，进而即可得出． 【详解】 解：（1）， 理由：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）∵、是的中线，， ∴为的中位线，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质、中线的定义以及中位线定理，解题的关键是:（1）由利用相似三角形的判定定理证出； （2）根据相似三角形的性质结合中位线定理找出、． 【变式1】如图，，若每两个三角形相似，构成一组相似三角形，那么图中相似的三角形共有_____组． 【答案】3 【分析】根据，即可得到△DEA∽△FGA∽△BCA，由此即可得到答案． 解：∵， ∴△DEA∽△FGA∽△BCA， ∴一共有3组相似三角形， 故答案为：3． 【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角形的判定方法． 类型二、三边对应成比例，两三角形相似 2．如图，已知．求证：． 【答案】 【分析】利用三边对应成比例的两个三角形相似，即可得到； 证明：， 在中， ， , 在中， 在△ABC和△DEF中，三边对应成比例, ． 【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质：三边对应成比例的两个三角形相似，熟悉运用相似三角形的判定与性质即可进行证明． 【变式1】我们知道，全等是特殊的相似，相似与三角函数也有着密切的联系．某数学兴趣小组类比“斜边和直角边分别相等的两个直角三角形全等”，进而提出猜想“斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似吗？”如图，在和中，，且，则与相似吗？并说明理由． 【答案】相似；理由见解析 【分析】根据三角形相似的判定条件：三边对应成比例，即可证得． 解：相似，理由如下： 令， 则，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴； 【点拨】本题考查三角形相似，解题的关键是掌握三角形相似的判定条件． 【变式2】如图，已知.求证：． 【分析】根据对应边平行可得对应边之比，从而证明. 解：． ． ． ∴， ∴. 【点拨】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法：三边对应成比例是解题的关键. 【变式3】如图，D、E、F分别是的三边的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】 首先可判断、、为的中位线，根据平行线分线段成比例的知识，可判断与的对应边成比例，继而可得出结论． 解：，，分别是的三边，，的中点， 、、为的中位线， ， ． 【点拨】本题考查了相似三角形的判定及三角形的中位线定理，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定方法，本题用到的是三边法． 类型三、两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 3．如图，在梯形中，，，E是的中点． （1）求证：； （2）与有可能相似吗？若相似，请给出证明过程；若不相似，请简述理由． 【答案】（1）见解析；（2）相似，理由见解析 【分析】 （1）过点C作CF⊥AB于F，先证明四边形ADCF是矩形，得到AF=CD=1