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12.3角的平分线的性质培优
一、单选题
1．如图，∠ABC=∠ACB，AD，BD，CD分别平分△ABC的外角∠EAC，内角∠ABC，外角∠ACF．以下结论：①AD∥BC，②∠ACB=2∠ADB，③∠ADC=90°-∠ABD，④BD平分∠ADC，其中正确结论有（）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据角平分线、三角形外角、平行线性质，结合题意逐个分析，即可得到答案．
【详解】
∵∠ABC=∠ACB，AD平分△ABC的外角∠EAC
又∵
∴
∴AD∥BC，故①正确
∵
∵BD平分∠ABC
∴
∴
∴
故②正确；
∵AD∥BC
∴
∵CD平分∠ACF
∴
又∵
∴
∴
即
∴③正确；
假设BD平分∠ADC
则：
∵
∴
∴
∴，且
∴
∵已知条件不具备
∴BD平分∠ADC假设不成立
∴④错误
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线、角平分线、三角形外角的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、角平分线、三角形外角的性质，结合题意分析从而完成求解．
2．如图，已知于点，平分，平移恰好到，连接，则下列结论：①；②；③平分平分；④．其中正确的结论个数是（）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】D
【分析】
根据平行线的判定和性质、角平分线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、垂直的判定和性质、平角的定义、直角三角形两锐角互余等进行推理即可得解．
【详解】
解：∵
∴，故说法①正确；
∵平移恰好到
∴，
∴
∵
∴
∴，故说法②正确；
∵
∴
∵，
∴
∴在四边形中，，故说法④正确；
∴
∵
∴
∴
∵平分
∴
∴
∴平分
∵
∴
∴平分
同理，平分，故说法③正确．
故选：D
【点睛】
本题考查了平行线的判定和性质、角平分线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、垂直的判定和性质、平角的定义、直角三角形两锐角互余等知识点，属于中档题型，体现了逻辑推理的核心素养．
3．如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE平分∠ACB，AD交CE于点F，已知△AFC的面积为5，FD＝2，则AC长是（）
A．2.5 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】
根据已知作FH⊥AC，先求出FH，再利用面积法，便可求出AC.
【详解】
解：过F作FH⊥AC，
∵AD⊥BC，CE平分∠ACB，
∴FH＝DF，
∵FD＝2，
∴FH＝2，
∵△AFC的面积为5，
∴AC?FH＝×2×AC＝5，
∴AC＝5，
故选：C．
【点睛】
考查了角平分线性质和用面积法求三角形的低，也属于常考题目，希望重点掌握.
4．如图，中，，平分．则（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如图，过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质可得出DE=CD，由全等三角形的判定定理HL得出△ADC≌△ADE，故可得出AE=AC=3，由AB=5求出BE=2，设CD=x，则DE=x，BD=4﹣x，再根据勾股定理知DE2+BE2=BD2，即x2+22=（4﹣x）2，求出x=，进而根据等高三角形的面积，可得出：S△ACD：S△ABD=CD：BD=××3：××5=3：5．
故选：B．
点睛：本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键．
5．如图，△ABC中，∠C=90°、AD是角平分线，E为AC边上的点，DE=DB，下列结论：①∠DEA＋∠B=180°；②∠CDE=∠CAB；③AC=(AB＋AE)；④S△ADC=S四边形ABDE，其中正确的结论个数为()
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【解析】
在AB上截取AF＝AE，交AB于点F，如图所示：
∵AD是∠CAB的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD,
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（SAS），
∴∠DEA＝∠DFA，DF＝DE，
又∵DE=DB，
∴DF＝DB，
∴∠DFB＝∠B，
又∵∠DFA+∠DFB＝180o，∠DEA＝∠DFA，
∴∠DEA＋∠B=180°(等量代换),
又∵∠CED+∠AED＝180o,
∴∠CED=∠B,
又∵∠C+∠CED+∠CDE＝180o，∠C+∠CAB+∠B＝180o，
∴∠CDE＝∠CAB，
过点D作DGAB于点G，如图所示：
∵DG＝DB（已证），
∴DG是BF的垂直平分线，
∴FG＝BG，
∵AD是是∠CAB的角平分线，∠C=90°，DGAB，
∴DC＝DG，
在△ADC和△AGD中
，
∴△ADC≌△AGD（AAS），
∴AC＝AG，
又∵AC＝AE+CE，AG＝AF+FG，
∴AE+CE＝AF+FG，
又∵AE＝AF，
∴CE＝FG，
又∵FG＝BG，
∴CE＝BG，
∴AC＝AE+BG，
又∵AB+AE＝AG+BG+A
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