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12.3角的平分线的性质提高

一、单选题

1．在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（）

A．图1与图2 B．图1与图3

C．图2与图3 D．图1、图2、图3

【答案】B

【分析】

利用基本作图可对图1和图2进行判断；利用基本作图和全等三角形的判定与性质、角平分线性质定理的逆定理对图3进行判断．

【详解】

在图1中，利用基本作图可判断AD平分∠BAC；

在图2中，利用基本作图得到D点为BC的中点，则AD为BC边上的中线；

在图3中，根据作法可知：

AE=AF，AM=AN，

在△AMF和△ANE中，，

∴△AMF≌△ANE（SAS），

∴∠AMD=∠AND，

∵∠MDE=∠NDF，

∵AE=AF，AM=AN，

∴ME=NF，

在△MDE和△NDF中，，

∴△MDE≌△NDF（AAS），

所以D点到AM和AN的距离相等，

∴AD平分∠BAC．

综上，能判断射线AD平分∠BAC的是图1与图3．

故选：B．

【点睛】

本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．

2．如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交X轴于点M，交Y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（3a－1，b），则a与b的数量关系为（）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第二象限内点的坐标符号可得3a－1+b=0，整理后即可得答案．

【详解】

解：根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，所以点P的横坐标与纵坐标互为相反数，即3a－1+b=0，

∴3a+b=1．

故选A．

【点睛】

此题主要考查了角平分线的基本作图，解题的关键是掌握角平分线的做法和第二象限的角平分线上点的坐标性质．

3．如图，在中，平分，与交于点，于点，若，的面积为，则的长为（）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，根据三角形面积公式求出DF的长，再根据角平分线的性质即可得出DE的长．

【详解】

解：过点D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，如图，

∵的面积为，

∴，

∵，

∴DF=2，

∵平分，

∴DE=DF=2

故选：C．

【点睛】

此题主要考查了角平分线的性质运用，根据三角形面积求出DF=2是解答此题的关键．

4．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，已CD＝1，则AC的长度等于()

A． B．2＋1 C．2 D．＋1

【答案】D

【分析】

过点D作DE⊥AB，垂足为E，设AC的边长为a，利用勾股定理和各三角形的面积关系列方程，求出a，即可解答

【详解】

过点D作DE⊥AB，垂足为E，

设AC的边长为a，则AB=，

∵S△ADB=S△ACB-S△ACD，

即AB×DE=

又∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，

∴CD=DE=1，

∴AB=

∴

解得，a=

故选:D

【点睛】

此题考查角平分线的性质，勾股定理，解题关键在于作辅助线

5．如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，适当长为半径画弧，交轴于点，交轴于点，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点．若点的坐标为，则与的数量关系为（）．

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第二象限内点的坐标符号可得2a+b+1=0，然后再整理可得答案．

【详解】

解：根据作图方法可得点P在第二象限的角平分线上，所以点P的横坐标与纵坐标互为相反数，即2a+b+1=0，

∴2a+b=-1．

故选：B．

【点睛】

此题主要考查了角平分线的基本作图，关键是掌握角平分线的做法．

6．如图所示，已知AB∥CD，与的平分线交于点，于点，且，则点到，的距离之和是（）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

过点O作MN，MN⊥AB于M，证明MN⊥CD，则MN的长度是AB和CD之间的距离；然后根据角平分线的性质，分别求出OM、ON的长度，再把它们求和即可．

【详解】

如图，过点O作MN，MN⊥AB于M，交CD于N，

∵AB∥CD，

∴MN⊥CD，

∵AO是∠BAC的平分线，OM⊥AB，OE⊥AC，OE＝3cm，

∴OM＝OE＝3cm，

∵CO是∠ACD的平分线，OE⊥AC，ON⊥CD，

∴ON＝OE＝3cm，

∴MN＝OM＋ON＝6cm，

即AB与CD之间的距离是6cm，

故选B

【点睛】

此题主要考查角平分线的性质和平行线之间的距离，解答此题的关键是要明确：①角的平分线上的点到角的