高考数学　直线与平面垂直的判定与性质专练 全国一轮数学（提高版） .docxVIP

直线与平面垂直的判定与性质

链教材夯基固本

激活思维

1.(人A必二P162T1(2)改)已知直线m，n和平面α，如果n?α，那么“m⊥n”是“m⊥α”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

2.若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，则下列命题为真命题的是()

A.若m?β，α⊥β，则m⊥α

B.若m∥α，n∥α，则m∥n

C.若m⊥β，m∥α，则α⊥β

D.若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ

3.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()

(第3题)

A.直线AB上 B.直线BC上

C.直线AC上 D.△ABC内部

4.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AB＝2，则A1C与侧面BCC1B1所成角的正弦值为()

(第4题)

A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(6),4)

C.eq\f(\r(10),4) D.eq\f(\r(15),5)

5.(人A必二P152T4改)已知点P为边长为a的正三角形ABC所在平面外一点且PA＝PB＝PC＝a，则点P到平面ABC的距离为_________________．

聚焦知识

1.直线与平面垂直

(1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．

(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理：

文字语言

图形语言

符号语言

判定

定理

如果一条直线与一个平面内的_______________，那么该直线与此平面垂直

_________________?l⊥α

性质

定理

垂直于同一个平面的两条直线_______________

_________________?a∥b

2.直线和平面所成的角

(1)定义：平面的一条斜线和它在_________________所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．

(2)范围：________________．

3.空间距离

(1)点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离．

(2)直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．

(3)两个平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．

4.常用结论

(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线．

(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．

(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．

(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．

研题型素养养成

举题固法

与线、面垂直相关命题的判定

例1(2024·唐山二模)已知m为平面α外的一条直线，则下列说法正确的是()

A.存在直线n，使得n⊥m，n⊥α

B.存在直线n，使得n⊥m，n∥α

C.存在直线n，使得n∥m，n∥α

D.存在直线n，使得n∥m，n⊥α

变式1(2024·景德镇三检)已知a，b是空间内两条不同的直线，α，β，γ是空间内三个不重合的平面，则下列说法正确的是()

A.若α⊥β，a?α，则a⊥β

B.若a⊥β，α⊥β，则a∥α

C.若α∩β＝a，α⊥γ，β⊥γ，则a⊥γ

D.若α⊥β，α∩β＝a，b⊥a，则b⊥α或b⊥β

线面垂直的判定定理与性质定理的应用

例2(2024·开封三模节选)已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，给出下列三个论断：①PC＝PD；②AC⊥PD；③BD⊥平面PAC.以其中的两个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题，并证明．

(例2)

证明线面垂直的常用方法及关键

(1)证明直线和平面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性质．

(2)证明线面垂直的关键是证明线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．

变式2如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形且∠ABC＝eq\f(π,3)，PB＝PA＝4，PC＝eq\r(6)，求PD的值．

(变式2)

线面角与点面距的计算

例3-1(2025·绍兴期中)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，AB＝2eq\r(3)，P