高考数学　椭圆的概念及基本性质专练 全国一轮数学（提高版） .docxVIP

椭圆的概念及基本性质

研题型素养养成

举题说法

椭圆的定义及应用

例1(1)(2024·新高考Ⅱ卷)已知曲线C：x2＋y2＝16(y＞0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为()

A.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1(y＞0)

B.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1(y＞0)

C.eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,4)＝1(y＞0)

D.eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,8)＝1(y＞0)

(2)(2019·全国乙卷)已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()

A.eq\f(x2,2)＋y2＝1 B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1

C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 D.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1

(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|PF1|＋|PF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点P的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和必为2a.

(2)椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解．

变式1(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为()

A.13 B.12

C.9 D.6

椭圆的标准方程

例2(1)已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，过点A(3，0)，且以坐标轴为对称轴，则椭圆的标准方程为__________________．

(2)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，－\f(3\r(3),5)))在椭圆上，|BP|＝eq\f(16,5)，则椭圆C的标准方程为___________________．

求椭圆方程的两个基本方法

(1)定义法：根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆方程．

(2)待定系数法：先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式．

椭圆的简单几何性质

视角1离心率

例3-1(1)(2024·苏锡常镇二调)已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过E的右焦点且斜率为1的直线l交E于A，B两点，且原点O到直线l的距离等于E的短轴长，则E的离心率为()

A.eq\f(2\r(2),3) B.eq\f(\r(6),3)

C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(1,3)

(2)(2024·湛江二模)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，若C上存在一点P满足|PF1|2＝19|PF2|2，则C的离心率的取值范围是___________________．

(1)求椭圆的离心率的方法：①求出a，c，直接求出e；②借助a，b，c之间的关系，构造出a，c的齐次式，通过两边除以a2，进而得到关于e的方程，通过解方程得出离心率e的值．

(2)求椭圆离心率的取值范围：关键在于找到含有a与c的不等关系，得出不等式常见的途径有：①椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上一点，则|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等；②题目中给出的或能够根据已知条件得出的不等关系式．

变式3-1(2025·湖州、衢州、丽水期中)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，过左焦点F作直线l与圆M：x2＋y2＝eq\f(c2,4)相切于点E，与椭圆C在第一象限的交点为P，且|PE|＝3|EF|，则椭圆C的离心率为___________________．

视角2椭圆中最值与范围

例3-2(1)若O和F分别为椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的中心和左焦点，P为椭圆上的任意一点，则eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的最大值为(