高考数学　圆锥曲线中的定值与定点问题专练 全国一轮数学（提高版） .docxVIP

圆锥曲线的综合问题

圆锥曲线中的定值与定点问题

研题型素养养成

举题说法

定点问题

例1(2024·九江二模)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq\r(5)，点P(3，4)在C上．

(1)求双曲线C的方程；

(2)直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若直线PA，PB的斜率互为倒数，求证：直线l过定点．

思路一：设直线y＝kx＋m，寻找k和m的一次关系；

思路二：用两点式求动直线的方程，寻找定点．

定直线问题

例2(2024·岳阳期初)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过点F且与x轴垂直的直线交C于A，B两点，且|AB|＝4.

(1)求抛物线C的方程，并写出焦点坐标；

(2)过焦点F的直线l与抛物线C交于M，N两点(异于A，B两点)，且M，A位于x轴同一侧，直线AM与直线BN相交于点G，求证：点G在定直线上．

求解动点在定直线上的方法

(1)先猜后证：先根据特殊情况猜想，然后证明(一般情况下，定直线都是与坐标轴平行或垂直的直线，所以思路按照求动点的横坐标或纵坐标是定值去展开).

(2)参数法：用题目中参数表示动点的横、纵坐标，然后消参，即可得到直线方程．

定值问题

例3(2025·温州一模)已知点A(m，2)在抛物线C：y2＝2px(0＜p＜2)上，且到抛物线C的焦点F的距离为eq\f(5,2).

(1)求抛物线C的方程；

(2)过点F的直线交抛物线C于B，C两点，且∠BAC＝90°，求直线BC的方程．

定值问题的解题思路

(1)引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值．

(2)特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．

随堂内化

1.(2025·南京、盐城期末)已知F1，F2分别为双曲线E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点F1到双曲线E的渐近线的距离为2eq\r(2)，A为双曲线E的右顶点，且|AF1|＝2|AF2|.

(1)求双曲线E的标准方程；

(2)若四边形ABCD为矩形，其中点B，D在双曲线E上，求证：直线BD过定点．

配套精练

1.(2025·邯郸期中节选)如图，D为圆O：x2＋y2＝1上一动点，过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A，B，连接BA并延长至点W，使得|WA|＝1，点W的轨迹记为曲线C.

(第1题)

(1)求曲线C的方程；

(2)若过点K(－2，0)的两条直线l1，l2分别交曲线C于M，N两点，且l1⊥l2，求证：直线MN过定点．

2.(2024·合肥二检)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，左顶点为A，短轴长为2eq\r(3)，且经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2))).

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点F的直线l(不与x轴重合)与C交于P，Q两点，直线AP，AQ与直线x＝4的交点分别为M，N，记直线MF，NF的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值．

3.(2024·山西一模)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)经过点A(3，2)，其右焦点为F，且直线y＝2x是C的一条渐近线．

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)设M(m，n)是C上任意一点，直线l：eq\f(mx,a2)－eq\f(ny,b2)＝1，求证：l与双曲线C相切于点M；

(3)设直线PT与C相切于点T，且eq\o(FP,\s\up6(→))·eq\o(FT,\s\up6(→))＝0，求证：点P在定直线上．

4.(2024·河南济、洛、平、许三模节选)已知M(x0，y0)是椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1上的动点，过原点O向圆M：(x－x0)2＋(y－y0)2＝r2引两条切线，分别与椭圆C交于P，Q两点(如图所示)，记直线OP，OQ的斜率依次为k1，k2，且k1·k2＝－eq\f(3,4).

(第4题)

(1)求圆M的半径r；

(2)求证：|OP|2＋|OQ|2为定值．