高考数学　重构数列问题专练 全国一轮数学（提高版） .docxVIP

重构数列问题

公共项问题

例1(1)(2024·漳州三检)将数列{3n－1}与{2n}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则a20＝()

A.237 B.238

C.239 D.240

(2)(2024·汕头二模)已知两个等差数列2，6，10，…，202及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为()

A.1678 B.1666

C.1472 D.1460

处理两个数列的公共项问题的两种方法

(1)不定方程法：列出两个项相等的不定方程，利用数论中的整除知识，求出符合条件的项，并解出相应的通项公式．

(2)周期法：即寻找下一项，通过观察找到首项后，从首项开始向后，逐项判断变化较大(如公差的绝对值大)的数列中的项是否为另一个数列中的项，并找到规律(周期)，分析相邻两项之间的关系，从而得到通项公式．

增项问题

例2(2024·滨州二模)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝7，S5＝25.

(1)求{an}的通项公式；

(2)保持数列{an}中各项先后顺序不变，在ak与ak＋1(k＝1，2，…)之间插入2k-1个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列{bn}，求{bn}的前150项和T150.

变式2(2025·温州一模)已知数列{an}的通项公式为an＝2n－1，在其相邻两项ak，ak＋1之间插入2k个3(k∈N*)，得到新的数列{bn}．记{bn}的前n项和为Sn，则使Sn≥100成立的n的最小值为()

A.28 B.29

C.30 D.31

减项问题

例3已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n＋r，其中r为常数．

(1)求r的值；

(2)设bn＝2(1＋log2an)，若数列{bn}中去掉与数列{an}相同的项后余下的项按原来的顺序组成数列{cn}，求c1＋c2＋c3＋…＋c100的值．

对于增加项或减少项数列问题，弄清插入(或减少)的项数及插入(或减少)的项的规律是解题关键，然后再利用分组求和法可解决此类问题．

计数数列

例4(2024·临汾三模)已知首项为1的正项数列{an}的前n项和Sn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an＋\f(1,an))).用[x]表示不超过x的最大整数，则[S1]＋[S2]＋[S3]＋…＋[S112]＝_______________.．

变式4(2024·广东大湾区二模)已知数列{an}为等差数列，a1＝－4，其前n项和Sn满足：当n∈N*且n＜9时，S1＋eq\f(S2,2)＋…＋eq\f(Sn,n)＝S1＋eq\f(S2,2)＋…＋eq\f(S9－n,9－n).

(1)求{an}的通项公式；

(2)定义集合Mn＝{ai＋aj|i，j∈N*，且i，j≤n}，记Mn中的元素个数为bn，数列{bn}的前n项和为Tn，求T10.

配套精练

1.已知n∈N*，an＝eq\f(1,2n－1)，bn＝eq\f(1,(n＋1)2－1)，将数列{an}与数列{bn}的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列{cn}，则数列{cn}的前99项和为()

A.eq\f(196,197) B.eq\f(198,199)

C.eq\f(98,197) D.eq\f(99,199)

2.已知数列{an}的各项均为正数，且a1＝1，对于任意的n∈N*，均有an＋1＝2an＋1，bn＝2log2(1＋an)－1.若在数列{bn}中去掉{an}的项，余下的项组成数列{cn}，则c1＋c2＋…＋c20＝()

A.599 B.569

C.554 D.568

3.(多选)已知n，m∈N*，将数列{4n＋1}与数列{5m}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则()

A.an＝5n

B.an＝5n

C.{an}的前n项和为eq\f(5(5n－1),4)

D.{an}的前n项和为eq\f(5(25n－1),24)

4.已知两个等差数列{an}：5，8，11，…与{bn}：3，7，11，…，它们的公共项组成数列{cn}，则数列{cn}的通项公式为cn＝_______________._；若数列{an}和{bn}的项数均为100，则{cn}的项数是______________．

5.已知公差大于0的等差数列{an}满足a2a4＝a11，a3＝5.

(1)求{an}的通项公式；

(2)在an与an＋1之间插入2n个2，构成新数列{bn}，求数列{bn}的前110项和S110.

6.(2024·湘潭3月质检)设各项都不为