高考数学　正态分布专练 全国一轮数学（提高版） .docxVIP

正态分布

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1.(人A选必三P87练习T1)设随机变量X～N(0，1)，则X的密度函数为__________________，P(X≤0)＝__________________，P(|X|≤1)≈___________________，P(X＞1)≈___________________．(精确到0.0001)

2.(人A选必三P87练习T2)设随机变量X～N(0，22)，随机变量Y～N(0，32)，则P(|X|≤1)与P(|Y|≤1)之间的大小关系是___________________．

3.(人A选必三P87习题T2)某市高二年级男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N(170，52)，现随机选择一名该市高二年级的男生，则P(165≤X≤175)＝___________________．

4.(人A选必三P87习题T3)若X～N(μ，σ2)，则X位于区域[μ，μ＋σ]内的概率是__________________．

5.(人A选必三P87习题T4)袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格．假设误差服从正态分布，随机抽取100袋食盐，误差的样本均值为0，样本方差为4，可估计这批袋装食盐的合格率为___________________．

聚焦知识

1.定义

若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))·e－eq\s\up10(\f((x－μ)2,2σ2))，x∈R，其中μ∈R，σ＞0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为__________________．

2.正态曲线的特点

(1)曲线是单峰的，它关于直线__________________对称；

(2)曲线在___________________处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；

(3)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．

3.3σ原则：假设X～N(μ，σ2)，则

(1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；

(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；

(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.

4.正态分布的均值与方差

若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝__________________，D(X)＝_________________．

研题型素养养成

举题说法

正态分布的性质

例1(多选)若X～N(μ，σ2)，则下列说法正确的是()

A.P(X＜μ＋σ)＝P(X＞μ－σ)

B.P(μ－2σ＜X＜μ＋σ)＜P(μ－σ＜X＜μ＋2σ)

C.P(X＜μ＋σ)不随μ，σ的变化而变化

D.P(μ－2σ＜X＜μ＋σ)随μ，σ的变化而变化

(1)当σ一定时，曲线的位置由μ确定．曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示．

(2)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．

甲

乙

变式1设X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，这两个正态密度曲线如图所示，则下列结论正确的是()

(变式1)

A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)

B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)

C.函数F(t)＝P(X＞t)在R上单调递增

D.P(μ1－2σ1≤X≤μ1＋2σ1)＝P(μ2－2σ2≤Y≤μ2＋2σ2)

正态分布下的概率计算

例2(2024·新高考Ⅰ卷)(多选)随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值eq\x\to(x)＝2.1，样本方差s2＝0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8，0.12)，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(eq\x\to(x)，s2)，则(若随机变量Z服从正态分布N(μ，σ2)，则P(Z＜μ＋σ)≈0.8413)()

A.P(X＞2)＞0.2 B.P(X＞2)＜0.5

C.P(Y＞2)＞0.5 D.P(Y＞2)＜0.8

解决正态分布问题有三个关键点：(1)正态密度曲线的对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在μ＝0时正态密度曲线的对称轴才为x＝0.

1.(2025·南京、盐城期末)(多选)某体育器材厂生产一批篮球，设单个篮球的质量为X(单位：g)．若X～N(600，σ2)，其中σ＞0，则(