高中数学　正弦定理与余弦定理（附答案解析）全国一轮数学（提高版） .docxVIP

正弦定理与余弦定理

举题说法

正、余弦定理的直接应用

例1(2022·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A).

(1)求证：2a2＝b2＋c2；

【解答】由题知sinCsin(A－B)＝sinBsin(C－A)可化简为sinCsinAcosB－sinCcosAsinB＝sinBsinCcosA－sinBcosCsinA，由正弦定理可得accosB－bccosA＝bccosA－abcosC，即accosB＝2bccosA－abcosC，由余弦定理可得aceq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝2bceq\f(b2＋c2－a2,2bc)－abeq\f(a2＋b2－c2,2ab)，整理得2a2＝b2＋c2，得证．

(2)若a＝5，cosA＝eq\f(25,31)，求△ABC的周长．

【解答】由(1)可知b2＋c2＝2a2＝50，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(50－25,2bc)＝eq\f(25,2bc)＝eq\f(25,31)，所以2bc＝31.因为b2＋c2＋2bc＝(b＋c)2＝81，所以b＋c＝9，所以a＋b＋c＝14，所以△ABC的周长为14.

在解三角形中，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理．以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．

变式1-1(2024·新高考Ⅰ卷)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinC＝eq\r(2)cosB，a2＋b2－c2＝eq\r(2)ab.

(1)求角B的大小；

【解答】由题知cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(\r(2)ab,2ab)＝eq\f(\r(2),2)，因为C∈(0，π)，所以C＝eq\f(π,4).因为sinC＝eq\r(2)cosB，所以cosB＝eq\f(1,2)，又B∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,3).

(2)若△ABC的面积为3＋eq\r(3)，求c.

【解答】由(1)可得B＝eq\f(π,3)，C＝eq\f(π,4)，则A＝π－eq\f(π,3)－eq\f(π,4)＝eq\f(5π,12)，所以sinA＝sineq\f(5π,12)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(π,6)))＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).由正弦定理有eq\f(a,sin\f(5π,12))＝eq\f(b,sin\f(π,3))＝eq\f(c,sin\f(π,4))，从而a＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)·eq\r(2)c＝eq\f(\r(3)＋1,2)c，b＝eq\f(\r(3),2)·eq\r(2)c＝eq\f(\r(6),2)c，S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)·eq\f(\r(3)＋1,2)c·eq\f(\r(6),2)c·eq\f(\r(2),2)＝eq\f(3＋\r(3),8)c2＝3＋eq\r(3)，所以c＝2eq\r(2).

变式1-2(2025·湛江期中改)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且eq\f(b,a)＝sinC＋cosC，0＜C＜eq\f(3π,4).

(1)求角A的大小；

【解答】依题意b＝asinC＋acosC，由正弦定理可得sinB＝sinAsinC＋sinAcosC，而sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC，则cosAsinC＝sinAsinC.因为sinC≠0，所以tanA＝1，则A＝eq\f(π,4).

(2)若a＝eq\r(2)，求3b＋4eq\r(2)c的最大值；

【解答】由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2，故b＝2sinB＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－C))，c＝2sinC，则3b＋4eq\r(2)c＝6sineq\b\