高中数学　直线与平面垂直的判定与性质（附答案解析）全国一轮数学（提高版） .docxVIP

直线与平面垂直的判定与性质

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1.(人A必二P162T1(2)改)已知直线m，n和平面α，如果n?α，那么“m⊥n”是“m⊥α”的(B)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

【解析】n?α，m⊥neq\a\vs4\al(不能推出/)m⊥α，充分性不成立；若m⊥α，n?α，则m⊥n，必要性成立．故“m⊥n”是“m⊥α”的必要不充分条件．

2.若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，则下列命题为真命题的是(C)

A.若m?β，α⊥β，则m⊥α

B.若m∥α，n∥α，则m∥n

C.若m⊥β，m∥α，则α⊥β

D.若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ

【解析】对于A，若m?β，α⊥β，则m与α相交、平行或m?α，故A错误．对于B，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故B错误．对于C，若m⊥β，m∥α，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确．对于D，若α⊥γ，α⊥β，则β与γ相交或平行，故D错误．

3.如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在(A)

(第3题)

A.直线AB上 B.直线BC上

C.直线AC上 D.△ABC内部

【解析】连接AC1(图略)，由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，得AC⊥平面ABC1.因为AC?平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC，所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．

4.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AB＝2，则A1C与侧面BCC1B1所成角的正弦值为(B)

(第4题)

A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(6),4)

C.eq\f(\r(10),4) D.eq\f(\r(15),5)

【解析】如图，取B1C1的中点E，连接A1E，CE.根据题意易得A1E⊥侧面BCC1B1，所以∠A1CE即为A1C与侧面BCC1B1所成的角．根据题意易知A1E＝eq\r(3)，A1C＝2eq\r(2)，所以sin∠A1CE＝eq\f(A1E,A1C)＝eq\f(\r(3),2\r(2))＝eq\f(\r(6),4).

(第4题答)

5.(人A必二P152T4改)已知点P为边长为a的正三角形ABC所在平面外一点且PA＝PB＝PC＝a，则点P到平面ABC的距离为_eq\f(\r(6)a,3)_．

【解析】设点P在平面ABC上的射影为点O，由PA＝PC＝PB，可知OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．如图，延长CO交AB于点G，连接PG.因为△ABC是正三角形，故CG为△ABC边AB上的高，且CO＝2OG.易知OG＝eq\f(1,3)CG＝eq\f(\r(3)a,6).又因为PA＝PB＝AB＝a，所以△ABP是等边三角形，所以点P到直线AB的距离PG＝eq\r(a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(3)a,2)，则点P到平面ABC的距离PO＝eq\r(\f(3,4)a2－\f(1,12)a2)＝eq\f(\r(6)a,3).

(第5题答)

聚焦知识

1.直线与平面垂直

(1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．

(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理：

文字语言

图形语言

符号语言

判定

定理

如果一条直线与一个平面内的_两条相交直线垂直_，那么该直线与此平面垂直

_eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥a，,l⊥b，,a∩b＝O，,a，b?α))_?l⊥α

性质

定理

垂直于同一个平面的两条直线_平行_

_eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α，,b⊥α))_?a∥b

2.直线和平面所成的角

(1)定义：平面的一条斜线和它在_平面上的射影_所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．

(2)范围：_eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))_．

3.空间距离

(1)点到平面的距离：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离．

(2)直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．

(3)两个平面间的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做