高考数学　圆锥曲线中特殊图形的代数转化专练 全国一轮数学（提高版） .docxVIP

微专题圆锥曲线中特殊图形的代数转化

角平分线

例1设椭圆C：eq\f(x2,2)＋y2＝1的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0).

(例1)

(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

(2)设O为坐标原点，求证：∠OMA＝∠OMB.

圆锥曲线中的角平分线问题的解题策略：一是转化为斜率问题，二是利用向量数量积求角，三是利用角平分线上的点到角两边的距离相等．

三点共线

例2已知椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1的右焦点为F，设直线l：x＝5与x轴的交点为E，过点F的直线l1与椭圆交于A，B两点，M为线段EF的中点．

(1)若直线l1的倾斜角为45°，求△ABM的面积；

(2)过点B作BN⊥l于点N，求证：A，M，N三点共线．

解析几何证明三点共线的方法：(1)直接证明其中一点在过另两点的直线上；(2)证明过其中一点和另两点所连两条直线的斜率相等；(3)证明过其中一点和另两点所连的两个向量共线．

平行四边形

例3已知点A，B的坐标分别是(－eq\r(2)，0)，(eq\r(2)，0)，动点M(x，y)满足：直线AM和BM的斜率之积为－3，记M的轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程；

(2)直线y＝kx＋m与曲线E相交于P，Q两点，若曲线E上存在点R，使得四边形OPRQ为平行四边形(其中O为坐标原点)，求m的取值范围．

圆锥曲线中平行四边形的证明方法：(1)利用斜率证明两组对边分别平行；(2)证明对角线的中点重合；(3)利用平面向量四边形法则证明．

四点共圆

例4已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A(－eq\r(2)，0)，且离心率为eq\f(\r(2),2).

(1)求C的方程；

(2)直线y＝kx(k≠0)交C于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，求证：M，F1，N，F2四点共圆．

证明四点共圆的一般方法：(1)证明四边形对角线张角为直角；(2)证明某一点到四点距离相等；(3)利用圆幂定理的逆定理．

配套精练

1.已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，且过点(－eq\r(2)，1).

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知A，B分别是椭圆C的左、右顶点，M是直线x＝2上不与点B重合的任意一点，O是坐标原点，与直线OM垂直的直线BP与C的另一个交点为P，求证：A，P，M三点共线．

2.设A，B是双曲线x2－eq\f(y2,2)＝1上的两点，点N(1，2)是线段AB的中点．

(1)求直线AB的方程；

(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C，D两点，那么A，B，C，D四点是否在同一个圆上，为什么？

3.已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且椭圆C经过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3,2)))，B(2，0).

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知F是C的右焦点，P是C上一点(P在第一象限)，且PF垂直于x轴，直线4x＋4y－7＝0与C交于M，N两点，求证：四边形PMFN是平行四边形．

4.已知M(x0，0)，N(0，y0)两点分别在x轴和y轴上运动，且|MN|＝1，若动点G满足eq\o(OG,\s\up6(→))＝2eq\o(OM,\s\up6(→))＋eq\o(ON,\s\up6(→))，动点G的轨迹为E.

(1)求E的方程；

(2)已知不垂直于x轴的直线l与轨迹E交于不同的两点A，B，点Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),3)，0))总满足∠AQO＝∠BQO，求证：直线l过定点．