高考数学　立体几何中的截面问题专练 全国一轮数学（提高版） .docxVIP

高考数学

微专题立体几何中的截面问题

截面问题的理论依据

(1)确定平面的条件：①不在同一直线上的三点确定一个平面；②两条平行线确定一个平面．

(2)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线．

(3)如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．

(4)如果一条直线平行于一个平面，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线和交线平行．

(5)如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行．

延展作多面体截面

例1(2024·随州5月模拟节选)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则过点D1，E，F的平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面多边形的周长为___________________．

作多面体截面的方法：

(1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程；

(2)若面上只有一个已知点，应设法在同一平面上再找出第二个确定的点；

(3)若两个已知点分别在相邻的面上，应找出这两个相邻平面的交线与截面的交点；

(4)同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点；

(5)平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线；

(6)若已知点在几何体内部，则可通过辅助平面找出面上的交点，再找出棱上的交点．

变式1在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，点E，F，G分别是AA1，A1B1，B1C1的中点，则过点E，F，G的平面截正四棱柱ABCD-A1B1C1D1所得截面多边形的周长为()

A.2eq\r(2)＋3eq\r(3) B.2eq\r(2)＋3eq\r(5)

C.2eq\r(2)＋4eq\r(3) D.2eq\r(2)＋4eq\r(5)

平行作多面体截面

例2如图，已知正三棱柱木料ABC-A1B1C1各棱长都为2，O1，O分别为△A1B1C1和△ABC的中心，Q为线段O1O上的点，且eq\f(O1Q,QO)＝eq\f(1,2)，过A，B，Q三点的截面把该木料截成两部分，则截面面积为___________________．

(例2)

变式2如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为BC，CC1的中点，则平面AEF截正方体所得的截面面积为()

(变式2)

A.eq\f(3,2) B.eq\f(9,2)

C.9 D.18

球与截面

例3(1)(2025·常州期末)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点M为棱DD1的中点，则平面ACM截该正方体的内切球所得截面面积为()

A.eq\f(π,3) B.eq\f(2π,3)

C.π D.eq\f(4π,3)

(2)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，以A1为球心，eq\f(\r(21),3)为半径的球的球面与正方体ABCD-A1B1C1D1的表面的交线长为()

A.eq\f(\r(3)π,9) B.eq\f(2\r(3)π,9)

C.eq\f(\r(3)π,3) D.eq\r(3)π

(1)平面截球体，截面都是圆形，球半径、截面圆半径、球心与截面圆心之间的距离，满足勾股定理；

(2)球体与多面体的交线，是一段一段的圆弧，计算每一段的圆心角大小是关键．

配套精练

1.(2024·深圳二模)已知正方体ABCD-A1B1C1D1，过点A且以eq\o(DB1,\s\up6(→))为法向量的平面为α，则α截该正方体所得截面的形状为()

A.三角形 B.四边形

C.五边形 D.六边形

2.若球的两个平行截面的面积分别为10π和16π，球心到这两个截面的距离之差为eq\r(2)，则球的直径为()

A.3eq\r(2) B.4eq\r(2)

C.5eq\r(2) D.6eq\r(2)

3.若四面体ABCD的所有棱长都相等，其顶点都在球O的球面上，过点A，B，O作平面α，平面α截此四面体所得截面面积为eq\r(2)，则球O的表面积为()

A.2π B.3π

C.4π D.6π

4.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝4，AA1＝3，A1C1＝4A1N，BB1＝3MB1，平面CMN截三棱柱所得截面的周长是()

(第4题)

A.3eq\r(2)＋4eq\r(5) B.3eq\r(2)＋3eq