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吉林省长春市长春吉大附中实验学校2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．若为虚数单位，复数满足，则（????）

A． B． C． D．

2．下列各组向量中，能作为基底的是（????）

A．＝（0,0），＝（1,1）

B．＝（1,2），＝（－2,1）

C．＝（－3,4），＝（,－）

D．＝（2,6），＝（－1,－3）

3．已知一组数据从小到大排列：10，20，30，40，50，60，70，80，90，100，则该组数据的40%分位数为（????）

A．35 B．40 C．45 D．50

4．已知两条直线m，n及平面，下列条件中，一定能得到的是（???）

A． B．

C． D．

5．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（???）

A． B． C． D．

6．从A队30人、B队20人中，按照分层随机抽样的方法从两队共抽取5人.进行一轮答题竞赛.相关统计情况如下：A队答对题目数的平均数为2，方差为1.5；B队答对题目数的平均数为1.方差为0.4，则这5人答对题目数的方差为（????）

A．1.3 B．1.06 C．0.95 D．0.8

7．四面体中，平面，则该四面体的外接球体积为（???）

A． B． C． D．

8．在矩形中，，，，点F在边上.若，则（??）

A． B． C． D．

二、多选题

9．设，则下列说法正确的是（???）

A．当时，

B．当时，的虚部是-4

C．，使是纯虚数

D．所对应的点不会在复平面的第三象限

10．如图是一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为奇数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（????）

A．事件B与C互斥 B．

C．事件与相互独立 D．

11．如图，在正方体中，点，，，分别为棱，，，的中点，则下列结论正确的是（????）

A．异面直线与所成角的正弦值为

B．平面

C．直线与是异面直线

D．过，，三点的平面截正方体所得的截面形状为菱形

三、填空题

12．已知，则．

13．如图，半径为2的四分之一球形状的玩具储物盒，放入一个玩具小球，合上盒盖，当小球的半径最大时，小球的表面积为.

14．中，为三角形的垂心，又，则.

四、解答题

15．在直三棱柱中，，，，M为中点，．

(1)证明：平面；

(2)求四面体的体积．

16．已知，，分别为三个内角，，的对边，且．

(1)求角；

(2)若，且，求的面积．

17．某校高一年级半期考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩，将成绩分为，共6组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在［90，150］内的学生中抽取13名，则成绩在［130，150］的同学有几个？

(2)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分和众数；

(3)若年级计划对本次测试优异的同学进行表彰，且表彰人数不超过，根据样本数据，试估计获得表彰的同学的最低分数.

18．如图，三棱锥的体积为，二面角为锐角，为的中点，平面平面，.

(1)证明：平面；

(2)求二面角的正弦值；

(3)若分别是直线上一点，且平面，记平面平面，与所成角的正弦值为，求的值.

19．对于一组向量，且，令，如果存在使得，那么称是该向量组的“1向量”.

(1)设，若是向量组的“1向量”，求实数的取值范围；

(2)若，则向量组是否存在“1向量”？若存在，求出“1向量”；若不存在，请说明理由；

(3)已知均是向量组的“1向量”，其中，.设在平面直角坐标系中有一点列且满足：为坐标原点，，且与关于点对称，与关于点对称，求的最大值．

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《吉林省长春市长春吉大附中实验学校2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题》参考答案

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

A

B

C

D

A

A

C

B

ABD

BD

题号

11

答案

ABD

1．A

【分析】由复数除法求得，