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试卷第=page11页,共=sectionpages33页
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甘肃省兰州市第五十八中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.复数,其中为虚数单位,则(????)
A.25 B.3 C.5 D.
2.如图所示,用符号语言可表达为(????)
A.,, B.,,
C.,,, D.,,,
3.下列三角恒等变换错误的是(????)
A. B.
C. D.
4.如图,在中,为线段AB上的一点,且.若,则(????)
A. B. C. D.
5.已知向量,,满足:,,且,则与的夹角为(????)
A. B. C. D.
6.如图,在平面四边形ACBD中,,,,,则CD的长为(????)
A.1 B. C. D.
7.如图,为了测量某铁塔的高度,测量人员选取了与该塔底在同一平面内的两个观测点与,现测得米,在点处测得塔顶的仰角为,在点处测得塔顶的仰角为,则铁塔的高度为(????)
A.80米 B.100米 C.112米 D.120米
8.已知某正三棱锥的内切球与外接球的球心恰好重合,如果其内切球的半径为,其外接球的体积为,那么这个三棱锥的表面积为(????)
A. B. C. D.
二、多选题
9.已知i为虚数单位,复数满足,则下列说法错误的是(????)
A.复数的模为 B.复数的共轭复数为
C.复数的虚部为 D.复数在复平面内对应的点在第一象限
10.在中,,,所对的边分别是,,,,,则(????)
A.若,则角有一个解
B.若,则边上的高为
C.的周长不可能为
D.若为锐角三角形,则面积的最值范围为
11.如图,正方体中E,F,G分别为,,的中点,则下列结论正确的是(???)
A.直线与所成角的余弦值为
B.直线与平面平行
C.点C与点G到平面的距离相等
D.平面截正方体所得大小两部分的体积比为
三、填空题
12.已知,点,则向量在方向上的投影为.
13.如图,平面,点为垂足,平面若,则.
14.棱长为2的正方体中,为棱CD的中点,过点作平面,使得平面平面,则平面在正方体表面上截得的图形的周长为.
四、解答题
15.已知:.
(1)化简;
(2)若是第二象限角,且,求.
16.如图,ABCD与ADEF为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.
求证:(1)BE∥平面DMF;
(2)平面BDE∥平面MNG.
17.如图,在三棱锥中,.
(1)证明:平面平面;
(2)求二面角的平面角的正弦值.
18.设三个内角所对的边分别为.已知,且.
(1)求角的大小;
(2)如图,是延长线上的一点,在的外角内取一点,使得.过点分别作直线的垂线,垂足分别是.设,求的最大值及此时的取值.
19.如图1,四边形ABCD为菱形,是边长为2的等边三角形,点为AB的中点,将沿AB边折起,使,连接PD,如图2,
(1)证明:;
(2)求异面直线BD与PC所成角的余弦值;
(3)在线段PD上是否存在点,使得平面MCN?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.
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《甘肃省兰州市第五十八中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
D
A
A
B
B
B
ABC
BD
题号
11
答案
ABD
1.C
【分析】根据复数模的计算公式计算即可.
【详解】因为,所以.
故选:C.
2.A
【分析】结合图形及点、线、面关系的表示方法判断即可.
【详解】如图所示,两个平面与相交于直线,直线在平面内,直线和直线相交于点,
故用符号语言可表达为,,,
故选:A
3.D
【分析】根据二倍角正弦公式可判断选项A;根据诱导公式可逐个判断选项B,C,D.
【详解】由二倍角公式可得:,故选项A正确;
根据诱导公式可得:;;,故选项B,C正确,选项D错误.
故选:D.
4.A
【分析】由已知,点是线段的一个四等分点,得出与的关系,再由向量的线性运算即可求得,的值.
【详解】由,可得,
所以,
,.
故选:A
5.A
【分析】将两边平方可得,然后结合向量夹角余弦公式可得答案.
【详解】由两边平方可得,
又,,所以,
所以.
因为,所以.
故选:A
6.B
【分析】分别在和中利用余弦定理和正弦定
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