《工程力学》教案 第14课 动量矩定理.docxVIP

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课题

动量矩定理

课时

2课时（90min）

教学目标

知识技能目标：

（1）了解动量矩的概念，并掌握其计算公式。

（2）熟练掌握动量矩定理和动量矩守恒定律。

（3）熟练运用刚体定轴转动微分方程求解动力学相关问题。

素质目标：

（1）养成谦虚谨慎、不骄不躁的工作作风。

（2）提高善于思考、勇于实践的科学素质。

教学重难点

教学重点：动量矩的概念，及其计算公式、动量定理、质心运动定理

教学难点：动量矩的计算公式、动量定理、质心运动定理

教学方法

案例分析法、问答法、讨论法、讲授法

教学用具

电脑、投影仪、多媒体课件、教材

教学过程

主要教学内容及步骤

课前任务

【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，完成课前任务

请大家了解动量矩的相关知识，了解定量矩定理。

【学生】完成课前任务

考勤

【教师】使用APP进行签到

【学生】班干部报请假人员及原因

新课导入

【教师】结合教材，提出问题：什么是动量矩？跟动量有什么关系？邀请学生回答

动量是描述质点系机械运动强度的物理量，但是它只能反映质点系随质心的平动，而不能反映质点系相对于质心的转动。例如，圆轮绕质心转动时，无论它怎样转动，圆轮的动量恒为零。此时，动量已经无法描述该圆轮的运动，而必须用动量矩进行描述。

【学生】思考、举手回答

传授新知

【教师】通过学生的回答引入要讲的知识，展开动量矩相关知识的讲解

一、质点的动量矩

【头脑风暴】

【教师】组织学生扫码观看“质点的动量矩”视频（详见教材），总结动量的概念。

【学生】扫码观看视频、思考、回答

动量矩是度量质点绕某轴转动的机械运动强度的物理量。如图11-1所示，设质点Q的质量为m，某瞬时的动量为mv，质点Q相对点O的位置用矢径r表示。质点Q的动量对于点O之矩定义为质点Q对点O的动量矩，即

（11-1）

质点Q对点O的动量矩是矢量，它垂直于矢径r和mv所形成的平面，指向由右手法则确定，如图11-1所示。

质点动量mv在Oxy平面内的投影对于点O之矩定义为质点动量对z轴之矩，简称对z轴的动量矩。根据力矩关系定理，动量矩也有类似关系，即质点对点O的动量矩在通过点O的任意轴上的投影等于质点对该轴的动量矩，即

（11-2）

质点对轴的动量矩是代数量，其正负号规定为：从轴的正端看向负端，使质点绕轴做逆时针转动的动量矩为正，反之为负。在国际单位制中，动量矩的单位是。

二、质点系的动量矩

【举一反三】

【教师】根据质点的动量矩，举一反三，组织学生讨论推导质点系的动量矩，并随机邀请学生回答。

【学生】讨论、思考、回答。

【教师】总结点评学生的回答，鼓励回答较好的学生，讲解质点系的动量矩。

质点系对点O的动量矩等于各质点对点O的动量矩的矢量和，或称为质点系的动量对点O的主矩，用表示，即

（11-3）

质点系对z轴的动量矩等于各质点对z轴的动量矩的代数和，即

（11-4）

由式（11-2）可得

（11-5）

即质点系对点O的动量矩在通过点O的任意轴上的投影等于质点系对该轴的动量矩。

如图11-2所示，定轴转动的刚体对于其转轴的动量矩为

令，称为刚体对z轴的转动惯量，于是有

（11-6）

即定轴转动的刚体对于其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。

三、质点的动量矩定理

【师生互动】

【教师】根据质点的动量矩计算，组织学生讨论推导质点的动量矩定理，并随机邀请学生回答。

【学生】讨论、思考、回答。

【教师】总结点评学生的回答，鼓励回答较好的学生，讲解质点的动量矩定理。

如图11-3所示，设质点Q对点O的动量矩为，力F对同一点O之矩为。将动量矩对时间t求一阶导数，得

（11-7）

根据质点动量定理，有

又因为点O为定点，故

则式（11-7）可改写为

因为，故

（11-8）

式（11-8）称为质点的动量矩定理，即质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点上的力对同一点之矩。

将式（11-8）两边投影到直角坐标轴上，再根据力矩关系定理，可以得到

（11-9）

即质点对某定轴的动量矩对时间的一阶导数等于作用于质点上的力对同一轴之矩。

四、质点系的动量矩定理

【举一反三】

【教师】根据质点的动量矩定理，组织学生讨论推导质点系的动量矩定理，并随机邀请学生回答。

【学