八年级数学下册第11课 矩形（教师版）.pdfVIP

第11课矩形

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课程标准

1.理解矩形的概念.

2.掌握矩形的性质定理与判定定理.

知识精讲

知识点01矩形的定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

注意：

矩形定义的两个要素：

①是平行四边形；

②有一个角是直角.

即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.

知识点02矩形的性质

矩形的性质包括四个方面：

1.矩形具有平行四边形的所有性质；

2.矩形的对角线相等；

3.矩形的四个角都是直角；

4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.

注意：

（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部

分.

（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点

（即对称中心）.

（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方

面看：

从边看，矩形对边平行且相等；

从角看，矩形四个角都是直角；

从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.

知识点03矩形的判定

矩形的判定有三种方法：

1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.

2.对角线相等的平行四边形是矩形.

3.有三个角是直角的四边形是矩形.

注意：

在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.

知识点04直角三角形斜边上的中线的性质

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

注意：

（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使

用.

（2）学过的直角三角形主要性质有：

①直角三角形两锐角互余；

②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.

（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.

能力拓展

考法01矩形的性质

【典例1】如图所示，已知四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，

点Q在矩形内．求证：(1)∠PBA＝∠PCQ＝30°；(2)PA＝PQ．

【思路点拨】

(1)矩形的四个内角都等于90°，利用条件△PBC和△QCD都是等边三角形，容易求得∠PBA和∠PCQ度

数；(2)利用(1)的结论以及矩形的性质进一步证明△PAB≌△PQC(SAS)，从而证得PA＝PQ．

【答案与解析】

证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝∠BCD＝90°．

∵△PBC和△QCD是等边三角形，

∴∠PBC＝∠PCB＝∠QCD＝60°，

∴∠PBA＝∠ABC－∠PBC＝30°，∠PCD＝∠BCD－∠PCB＝30°．

∴∠PCQ＝∠QCD－∠PCD＝30°，故∠PBA＝∠PCQ＝30°

(2)∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC．

∵△PBC和△QCD是等边三角形，

∴PB＝PC，QC＝DC＝AB．

∵AB＝QC，∠PBA＝∠PCQ，PB＝PC．

∴△PAB≌△PQC，∴PA＝PQ．

【点睛】利用矩形的性质，可以得到许多的结论，在解题时，针对问题列出有用的结论作论据即可．



【即学即练】如图所示，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B处，点A落在点A

处．