八年级数学下册第12课 菱形（教师版）.pdfVIP

第12课菱形

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课程标准

1.理解菱形的概念.

2.掌握菱形的性质定理及判定定理．

知识精讲

知识点01菱形的定义

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

注意：

菱形的定义的两个要素：

①是平行四边形.

②有一组邻边相等.

即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.

知识点02菱形的性质

菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：

1.菱形的四条边都相等；

2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.

注意：

（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.

（2）菱形的面积由两种计算方法：

一种是平行四边形的面积公式：底×高；

另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的

四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.

（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.

知识点03菱形的判定

菱形的判定方法有三种：

1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

3.四条边相等的四边形是菱形.

注意：

前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四

条边相等.

能力拓展

考法01菱形的性质

【典例1】如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝18°．求

∠CEF的度数．

【分析】

由已知∠B＝60°，∠BAE＝18°，则∠AEC＝78°．欲求∠CEF的度数，只要求出∠AEF的度数即可，由∠

EAF＝60°，结合已知条件易证△AEF为等边三角形，从而∠AEF＝60°．

【答案与解析】

解：连接AC．

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC，∠ACB＝∠ACF．

又∵∠B＝60°，

∴△ABC是等边三角形．

∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．

∴∠ACF＝∠B＝60°．

又∵∠EAF＝∠BAC＝60°

∴∠BAE＝∠CAF．

∴△ABE≌△ACF．

∴AE＝AF．

∴△AEF为等边三角形．

∴∠AEF＝60°．

又∵∠AEF＋∠CEF＝∠B＋∠BAE，∠BAE＝18°，

∴∠CEF＝18°．

【点睛】当菱形有一个内角为60°时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角形，有助于求相关角的度

数．在求角的度数时，一定要注意已知角与所求角之间的联系．

【典例2】如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP

的最小值为（）

A．1B．2C．3D．4

【分析】作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，由两点之间线段最短可知当E、P、F′在一条直线上时，

EP+FP有最小值，然后求得EF′的长度即可．

【答案】C．

【解析】

解：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．

∴EP+FP=EP+F′P．

由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．

∵四边形ABCD为菱形，周长为12，

∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，

∵AF=2，AE=1，

∴DF=AE=1，

∴四边形AEF′D是平行四边形，

∴EF′=AD=3．

∴EP+FP的最小值为3．

故选：C．

【点睛】本题主要考查的是菱形的