【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.3 数学归纳法课后知能检测 新人教A版选修2-2.docVIP

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.3 数学归纳法课后知能检测 新人教A版选修2-2 一、选择题 1．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则(　　) A．该命题对于n2的自然数n都成立 B．该命题对于所有的正偶数都成立 C．该命题何时成立与k取值无关 D．以上答案都不对 【解析】　由n＝k时命题成立可推出n＝k＋2时命题也成立，又n＝2时命题成立，根据逆推关系，该命题对于所有的正偶数都成立，故选B. 【答案】　B 2．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则(　　) A．f(n)共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋ B．f(n)共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ C．f(n)共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋ D．f(n)共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋ 【解析】　结合f(n)中各项的特征可知，分子均为1，分母为n，n＋1，…，n2的连续自然数共有n2－n＋1个，且f(2)＝＋＋. 【答案】　D 3．(2013·烟台高二检测)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上(　　) A．k2＋1 B．(k＋1)2 C. D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2 【解析】　当n＝k时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2， 当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2， 故当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，故应选D. 【答案】　D 4．(2013·合肥高二检测)对于不等式n＋1(nN*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下： (1)当n＝1时，1＋1，不等式成立． (2)假设当n＝k(kN*)时，不等式成立，即k＋1，则当n＝k＋1时，＝ ＝＝(k＋1)＋1， n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法(　　) A．过程全部正确 B．n＝1验得不正确 C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 【解析】　在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的归纳假设，故选D. 【答案】　D 5．某个与正整数有关的命题：如果当n＝k(kN*)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立．现已知n＝5时命题不成立，那么可以推得(　　) A．当n＝4时命题不成立 B．当n＝6时命题不成立 C．当n＝4时命题成立 D．当n＝6时命题成立 【解析】　因为当n＝k(kN*)时命题成立，则可以推出当n＝k＋1时该命题也成立，所以假设当n＝4时命题成立，那么n＝5时命题也成立，这与已知矛盾，所以当n＝4时命题不成立． 【答案】　A 二、填空题 6．若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是________． 【解析】　f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2， f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2， f(k＋1)－f(k) ＝(2k＋1)2＋(2k＋2)2， 即f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2. 【答案】　f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2 7．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(nN*)，证明不等式f(2n)时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数是______________________________________________________项． 【解析】　f(2k)＝1＋＋＋…＋，f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋…＋ 因此，f(2k＋1)比f(2k)多了2k项． 【答案】　2k 8．用数学归纳法证明＋＋…＋－.假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________． 【解析】　观察不等式中各项的分母变化知，n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋－. 【答案】　＋＋…＋＋＋－ 三、解答题 9．用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(nN*)． 【证明】　(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，即n＝1时命题成立． (2)假设n＝k(kN*)时命题成立， 即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋. 则当n＝k＋1时， 1－＋－＋…＋－＋－ ＝＋＋…＋＋－ ＝＋＋…＋＋(－) ＝＋＋…＋＋， 即当n＝k＋1时，等式成立． 由(1)和(2)知，等式对任何nN*都成立． 10．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋n(nN*，n1)． 【证明】　(1)当n＝2时，左边＝1＋＋，右边＝2，左边右边，不等式成立． (2)假设当n＝k时，不等式成立，即1＋＋＋…＋k，则当n＝k＋1时，有1＋＋＋…＋＋＋＋…＋k＋＋＋…＋k＋＝k＋1，所以，当n＝k＋1时不等式成立． 由(1)和(2)知，对于任意大于1的正整数n，不等式均